Vamos aqui ver a resolução da prova do Concurso de admissão 2020 aos cursos de formação e graduação de sargentos anos 2021 e 2022 (CA 2020 aos CFGS 2021 – 22) da Escola de Sargentos das Armas (ESA).
Abaixo teremos a prova da ESA 2021 resolvida. A prova foi aplicada no dia 04 de outubro de 2020 (04/10/2020).
Antes de termos a resolução da prova da área geral/aviação vamos ver os assuntos cobrados em cada questão.
QUESTÃO 1 – Logarítmo
QUESTÃO 2 – Conjuntos e probabilidade
QUESTÃO 3 – Sequências: progressão aritmética (P.A.) e progressão geométrica (P.G.)
QUESTÃO 4 – Escala/semelhança de figuras
QUESTÃO 5 – Inequação modular
QUESTÃO 6 – Equação exponencial
QUESTÃO 7 – Esfera
QUESTÃO 8 – Lei dos senos
QUESTÃO 9 – Função quadrática
QUESTÃO 10 – Polinômios
QUESTÃO 11 – Geometria analítica
QUESTÃO 12 – Função exponencial
Confira abaixo como foi o aulão de véspera do Promilitares para a prova da ESA onde foram abordados os assuntos mais cobrados no concurso da ESA.
Vamos a resolução da prova da ESA 2020/2021.
QUESTÃO 1
Mudando para a base 3 o log_{5}\, 7 , obtemos:
(A) log_{3}\, 7/log_{3}\, 5 .
(B) log_{7}\, 3/log_{5}\, 3 .
(C) log_{3}\, 5 .
(D) log_{3}\, 7 .
(E) log_{5}\, 3/log_{7}\, 3 .
RESOLUÇÃO
Primeiramente vamos relembrar a propriedade de mudança de base dos logarítmos.
log_{b}\, a=\frac{log_{c}\, a}{log_{c}\, b}Dessa forma podemos passar log_{5}\, 7 para a base 3 da seguinte forma:
log_{5}\, 7=\frac{log_{3}\, 7}{log_{3}\, 5}Fazendo com que a nossa resposta correta seja a opção A
Quer saber mais sobre logarítmos? Acesse aqui e veja todas as propriedades relativas aos logarítimos
OPÇÃO A
QUESTÃO 2
Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para vir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e dois responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize somente carro?
(A) 8,75%
(B) 23,75%
(C) 21,25%
(D) 35%
(E) 33,75%
RESOLUÇÃO
Primeiramente teremos que montar um diagrama de Venn para os conjuntos para encontrar o número de pessoas que utilizam somente carro.
Nesse tipo de questão nós sempre devemos começar pela intersecção de mais conjuntos, ou seja pela intersecção dos 3 conjuntos ao mesmo tempo, que no caso é a quantidade de 5 pessoas informadas no enunciado.
Agora iremos preenchendo as quantidades de pessoas que utilizam ônibus e carro, ônibus e moto e carro e moto sendo que já descontando as 5 pessoas que já utilizam os três meios de transporte ao mesmo tempo.
Repetindo o processo para aqueles que usam ônibus, carro ou moto.
Se somarmos todas as quantidades teremos 17 + 3 + 7 + 7 + 13 + 9 + 5 = 61. Com isso vemos que dentre os entrevistados ainda temos 19 (80-61) que não andam nem de ônibus ou carro ou moto
Sendo assim temos apenas 7 pessoas que andam SOMENTE de carro (destacado na figura abaixo).
E dessa forma a probabilidade pedida na questão pode ser calculada por P=\frac{7}{80}=0,0875=8,75% .
Quer saber mais sobre probabilidade? Acesse aqui e descubra como pode cair numa próxima questão da prova da ESA.
OPÇÃO A
QUESTÃO 3
Se (40, x, y, 5, …) é uma progressão geométrica de razão q e (q, 8 – a, 7/2, …) é uma progressão aritmética, determine o valor de a. (A) 8
(B) 25/4
(C) 23/4
(D) 6
(E) 7
RESOLUÇÃO
Se (40, x, y, 5, …) é uma progressão geométrica (P.G.) temos então que são válidas as relações:
\frac{y}{x}=\frac{x}{40}\Rightarrow x^{2}=40y\Rightarrow y=\frac{x^{2}}{40} \frac{5}{y}=\frac{y}{x}\Rightarrow y^{2}=5xDa primeira equação substituindo na segunda teremos:
\left ( \frac{x^{2}}{40} \right )^{2}=5x\Rightarrow \frac{x^{4}}{1600}=5x\Rightarrow x^{3}=1600.5\Rightarrow x^{3}=8000\Rightarrow x=\sqrt[3]{8000}=20 .
Sabendo que x = 20 sabemos que a progressão geométrica é (40, 20, y, 5, …) fazendo com que a razão da P.G. seja q=\frac{1}{2} e a progressão geométrica seja (40, 20, 10, 5, …).
Nota: a razão q=\frac{1}{2} também era simples de ser encontrada por tentativa e erro.
Agora substituindo q=\frac{1}{2} na progressão aritmética (q, 8 – a, 7/2, …) teremos (1/2, 8 – a, 7/2, …) e assim é válida a relação:
\frac{7}{2}-\left ( 8-a \right )=8-a-\frac{1}{2}\Rightarrow -8+a=8-a-\frac{1}{2}-\frac{7}{2}\Rightarrow 2a=8+8-\frac{8}{2}\Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6Dessa forma temos a opção D como nossa resposta correta.
Quer aprender tudo de progressão aritmética? Então clique aqui pois progressão aritmética (P.A.) é o tema mais cobrado no concurso da ESA.
OPÇÃO D
QUESTÃO 4
Determine a distância real, em quilômetros, entre duas cidades que se encontram a 18 mm de distância em um mapa cuja escala é 1 : 5.000.000.
(A) 0,9
(B) 900
(C) 9000
(D) 9
(E) 90
RESOLUÇÃO
A relação de escalas se dá da mesma forma que uma relação de semelhança entre figuras semelhantes. Se as cidades no mapa se encontram entre si a 18 mm de distância na escala real elas se encontrarão com uma distância 5.000.000 vezes maior, pois uma escala 1 : 5.000.000 indica que cada medida real foi dividida por 5.000.000.
Repare que para passarmos de milímetro (mm) para metro (m) é necessário multiplicar por 1000 e que para passamos de metro (m) para quilômetro (km) é necessário também multiplicar por 1000.
Dessa forma 18\ mm \ \times \ 5000000\ =\ 90.000.000\ mm=\ 90\ km
OPÇÃO E
Antes de continuarmos com o restante da resolução da prova da ESA assista como foi o gabarito de todas as disciplinas feito pelo Promilitares. O gabarito da prova da ESA feito pelo Promilitares foi realizado ao vivo no youtube e de forma gratuita no mesmo dia da prova, logo após o seu término.
Vamos continuar a nossa resolução da prova da ESA 2020/2021
QUESTÃO 5
A solução da inequação |3x -10| ≤ 2x é dada por:
(A) S = Ø
(B) S ={x \epsilon \ R| x ≥ 2}
(C) S ={x \epsilon \ R| x ≤ 2 \ ou x ≥ 10}
(D) S ={x \epsilon \ R| x ≤ 10}
(E) S ={x \epsilon \ R| 2≤ \ x ≤ 10}
RESOLUÇÃO
Podemos entender a definição de módulo como a distância de um número a origem da reta real (0).
Pensado dessa forma sempre temos 2 números que estão a mesma distância da origem (0) o k e o -k .
Então quando nos é perguntado |3x -10| ≤ 2x temos que pensar que queremos os valores que tem uma distância em relação a origem menor ou igual a distância que o 2x tem.
De maneira geral |x|\leq k\Rightarrow -k\leq x\leq k . Quando vemos isso na reta real vemos que nos interessa o intervalo em vermelho.
Assim temos que |3x -10| ≤ 2x \Rightarrow -2x\leq 3x-10\leq 2x\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3x-10\leq 2x\\3x-10\geq -2x\end{matrix}\right.
3x-10 \leq 2x \Rightarrow 3x-2x \leq 10 \Rightarrow x \leq 10
3x-10 \geq -2x \Rightarrow 3x+2x \geq 10 \Rightarrow 5x \geq 10\Rightarrow x \geq 2
x\geq 2 e x\leq 10 \Rightarrow 2\leq x \geq 10
Quer saber mais sobre equações e inequações modulares? Clique caí e esteja preparado para esse assunto na prova da ESA.
OPÇÃO E
QUESTÃO 6
A soma dos possíveis valores de x na equação 4^{x}=6.4^{x}-8 , é:
(A) 7
(B) 6
(C) 0
(D) 3
(E) 2
RESOLUÇÃO
Temos uma equação exponencial clássica, assim primeiramente vamos utilizar as propriedades
\Rightarrow \left ( 2^{2} \right )^{x}-6.2^{x}+8=0 \Rightarrow \left ( 2^{x} \right )^{2}-6.2^{x}+8=0
vamos fazer a substituição y=2ˆ{x} e assim teremos a equação do segundo grau:
y^{2}-6.y+8=0\Rightarrow y=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6))^{2}-4.1.8})}{2.1}= \frac{6\pm \sqrt{36-32})}{2}y= \frac{6\pm \sqrt{4})}{2}= \frac{6\pm 2}{2}\Rightarrow y=\frac{6+2}{2}=4 ou y=\frac{6-2}{2}=2
Agora devemos voltar em y=2^{x} e assim 2^{x}=4 \Rightarrow 2^{x}= 2^{2}\Rightarrow x=2 ou 2^{x}=2 \Rightarrow 2^{x}= 2^{1} \Rightarrow x=1.
Assim a soma das nossas raízes é 1 + 2 = 3.
OPÇÃO D
QUESTÃO 7
A área da superfície de uma esfera é 144π cm^{2} . O volume da esfera é igual a:
(A) 72π cm^{3}
(B) 162π cm^{3}
(C) 216π cm^{3}
(D) 288π cm^{3}
(E) 2304π cm^{3}
RESOLUÇÃO
Aqui temos um assunto clássico da geometria espacial, o estudo da esfera. Temos as 2 principais fórmulas relacionadas a uma esfera nessa questão da prova da ESA. A área da superfície da esfera S=4\pi r^{2} e temos também o volume da esfera V=\frac{4\pi r^{3}}{3}. Sendo assim vamos utilizar a área da superfície que nos foi dada S=144π e descobrir o raio da esfera.
S=144π\Rightarrow 4\pi r^{2}=144\pi \Rightarrow r^{2}=\frac{144}{4}=36 \Rightarrow r=\sqrt{36}=6
Sendo assim vamos utilizar agora r=6 na fórmula do volume da esfera V=\frac{4\pi r^{3}}{3}.
V=\frac{4\pi r^{3}}{3}=\frac{4\pi 6^{3}}{3}=\frac{4\pi 36.6}{3}=4.36.2\pi=8.36\pi=288\pi
Assim nosso volume da esfera é igual a 288\pi
OPÇÃO D
QUESTÃO 8
A água utilizada em uma residência é captada do rio para uma caixa d’água localizada a 60m de distância da bomba. Os ângulos formados pelas direções bomba – caixa d’água – residência é de 60° – bomba – caixa d’água é de 75°, conforme mostra a figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a residência, quantos metros de tubulação são necessários? Use \sqrt{6} = 2,4.
(A) 72 metros
(B) 12,5 metros
(C) 28 metros
(D) 35,29 metros
(E) 21,25 metros
RESOLUÇÃO
Nessa questão vamos chamar o vértice do triângulo onde se encontra a residência de A, o vértice do triângulo onde se encontra a bomba de B e o vértice do triângulo onde se encontra a caixa d’água de C e pela soma dos ângulos internos do triângulo teremos.
\hat{A}+75^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow \hat{A}=180^{\circ}-135^{\circ} \Rightarrow \hat{A}=45^{\circ}
Sendo \hat{A}=45^{\circ} aplicaremos a Lei dos senos no triângulo ABC.
\frac{x}{sen\, 60^{\circ}}=\frac{60}{sen\, 45^{\circ}}\Rightarrow \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{60}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow x\sqrt{2}=60\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{60\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow
x=\frac{60\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{60\sqrt{6}}{2}=30\sqrt{6}
Como a questão manda utilizar \sqrt{6} = 2,4 teremos x=30\sqrt{6}=30.2,4=72.
OPÇÃO A
QUESTÃO 9
O lucro de uma empresa é dado por uma lei L(x) = -xˆ{2} + 8x – 7, que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades e L é o lucro (em Reais). Qual o valor do lucro máximo em reais?
(A) 9000
(B) 7000
(C) 6000
(D) 8000
(E) 10000
RESOLUÇÃO
Esta questão foi anulada no gabarito oficial do concurso da ESA 2020/2021 por um pequeno detalhe. No enunciado a banca deveria ter cobrado o valor do lucro máximo em MILHARES de reais. Vamos ver como seria a resolução dessa questão se fosse cobrada de maneira correta.
Para encontrarmos o lucro máximo devemos calcular o y do vértice dessa função uma vez que L(x)=y e a fórmula das coordenadas do vértice de uma parábola V\left ( x_{v},\, y_{v} \right) onde x_{v}=-\frac{b}{2a} e y_{v}=-\frac{\Delta}{4a} .
Sendo assim devemos calcular y_{v}=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{8^{2}-4.(-1).(-7))}{4(-1))}=\frac{64-28}{4}=\frac{36}{4}=9 .
Assim, se a questão cobrasse em milhares de reais teríamos 9.000 reais.
ANULADA NO GABARITO OFICIAL
QUESTÃO 10
Dado o polinômio p(x)=4x^{4}+3x^{5}-5x+x^{2}+2 . Analise as informações a seguir:
I. O grau de p(x) é 5.
II. O coeficiente de x^{3} é 0.
III. O valor numérico de p(x) para x = -1 e 9.
IV. Um polinômio q(x) é igual a q(x) se, e somente se, possui mesmo grau de p(x) e os coeficientes são iguais.
É correto o que se afirma em:
(A) I, II e III apenas
(B) II, III e IV apenas
(C) I, II, III e IV
(D) I e II apenas
(E) III e IV apenas
RESOLUÇÃO
Vamos analisar as afirmativas
I. VERDADEIRA
O grau de p(x) é igual a 5 e é dado pelo monômio 3x^{5} .
II. VERDADEIRA
O polinômio p(x) não possui o termo do terceiro grau x^{3} e assim o temos 0x^{3}
III. VERDADEIRA
p(-1)=4(-1)^{4}+3(-1)^{5}-5(-1)+(-1)^{2}+2 =4.1+3(-1)+5+1+2=4-3+8=9
IV. FALSA
Dois polinômios são iguais somente se possuem os coeficientes DOS MONÔMIOS DE MESMO GRAU IGUAIS.
OPÇÃO A
QUESTÃO 11
Um ponto P, de um sistema de coordenadas cartesianas, pertence a reta da equação y = x – 2 . Sabe-se o ponto P é equidistante do eixo das ordenadas e do ponto Q (16, 0). Dessa maneira, um possível valor as coordenadas do ponto P é:
(A) P (9, 7)
(B) P (8, 10)
(C) P (12, 10)
(D) P (7, 9)
(E) P (10, 8)
RESOLUÇÃO
Vamos lá resolver essa questão de geometria analítica, um assunto também muito cobrado na prova da ESA.
Se o ponto P pertence a reta y = x – 2 então P é da forma P(x, y)=(x, x – 2) .
Se P é equidistante do eixo das ordenadas e do ponto Q (16, 0) quer dizer que P está a mesma distância do eixo y e do ponto Q.
A distância de qualquer ponto ao eixo y é dada pela coordenada de x desse ponto, veja na figura abaixo.
Dessa forma a distância do ponto P ao eixo y é dada por x .
Vamos encontrar a distância do ponto P ao ponto Q.
d_{p,\, q}=\sqrt{(x-16)^{2}+(x-2-0)^{2}}=\sqrt{(x-16)^{2}+(x-2)^{2}}
Como a distância de P ao eixo y é x temos
d_{p,\, q}=x\Rightarrow \sqrt{(x-16)^{2}+(x-2)^{2}}=x \Rightarrow (x-16)^{2}+(x-2)^{2}=(x)^{2}\Rightarrow
x^{2}-32x+256+x^{2}-4x+4=x^{2}\Rightarrow x^{2}-36x+260=0
Resolvendo a equação do segundo grau por soma e produto teremos S=-\frac{-36}{1}=36 e P=\frac{260}{1}=260 onde nossas raízes serão x=26 ou x=10 .
Substituindo no ponto P(x, y)=(10, 10 – 2)=(10, 8)
OPÇÃO E
QUESTÃO 12
A função n(t)=1000.2^{0,2t} indica o número de bactérias existentes em um recipiente, em que t é o número de horas decorridas. Em quantas horas, após o início do experimento, haverá 16000 bactérias?
(A) 10
(B) 50
(C) 15
(D) 30
(E) 20
RESOLUÇÃO
Vamos encontrar o valor de t na função exponencial n(t)=1000.2^{0,2t} fazendo n(t)=16000
n(t)=16000\Rightarrow 1000.2^{0,2t}=16000 \Rightarrow 2^{0,2t}=16 \Rightarrow 2^{0,2t}=2^{4} \Rightarrow 0,2t=4 \Rightarrow
t=\frac{4}{0,2}=\frac{40}{2}=20
Assim teremos t=20 .
OPÇÃO E
Quer se dar bem na prova da ESA 2021/2022 e ingressar no CFGS 2022-23? Assista ao Aulão de véspera do Promilitares e fique por dentro de todos os assuntos mais cobrados na prova da ESA.
