Seja θ um ângulo tal que θ ≠ π/2 + k · π, k ∈ ℤ, e cuja imagem no ciclo trigonométrico é P. A tangente de θ é a medida algébrica do segmento A̲P̲1, onde P1 é a interseção da reta O̲P̲ com o eixo das tangentes.
Note que, se θ = π/2 + k · π, k ∈ ℤ, a reta O̲P̲ não intersecta o eixo das tangentes e, portanto, a tangente de θ não está definida.
Seja θ um ângulo tal que θ ≠ k · π, k ∈ ℤ, e cuja imagem no ciclo trigonométrico é P. A cotangente de θ é a medida algébrica do segmento B̲T̲2, onde P2 é a interseção da reta O̲P̲ com o eixo das cotangentes.
Note que, se θ = k · π, k ∈ ℤ, a reta O̲P̲ não intersecta o eixo das cotangentes e, portanto, a cotangente de θ não está definida. Na figura a seguir, temos:
tg θ = A̲P̲¹̲
cotgθ = B̲P̲2
Observe que a definição acima é coerente com a que foi estabelecida nos triângulos retângulos para ângulos agudos. Basta notar que, no triângulo retângulo OAP1, temos:
tg θ = AP1/OA = AP1/1 ⇔ AP1 = tg θ
cotg θ = BP2/OB = BP2/1 ⇔ BP2 = cotg θ
Note ainda que, se Px e Py são as projeções de P sobre os eixos dos cossenos e dos senos, respectivamente, então temos:
Portanto, para um ângulo θθ qualquer, no qual as linhas trigonométricas estejam definidas, valem as relações:
tgθ=senθ/cosθ cotgθ = cosθ/senθ cotgθ =1/tgθ
Denomina-se função tangente, a função de Dtg em ℝ definida por f(x)=tg x.
O domínio da função tangente é Dtg= {x ∈ ℝ ∣ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ } e a imagem Imtg=ℝ.
Denomina-se função cotangente, a função de Dcotg em ℝ definida por f(x)=cotgx.
O domínio da função cotangente é Dcotg = {x ∈ ℝ ∣ x ≠ kπ, k ∈ ℤ} e a imagem lmcotg=ℝ.
Tangente e cotangente são funções periódicas de período $\pi$.
De acordo com a definição acima, os ângulos do 1° e 3° quadrantes possuem tangente e cotangente positivas e os ângulos do 2° e 4° quadrantes possuem tangente e cotangente negativas, conforme representado no diagrama a seguir.
