Trigonometria: Relações fundamentais

O seno e o cosseno de um mesmo ângulo θ são coordenadas de um ponto que dista 1 unidade da origem do sistema de eixos.

Se P é a imagem do ângulo θ ∈ ℝ no ciclo trigonométrico, então P=(cosθ, senθ). Assim, temos d(P,O)=1 ⇔ √(cosθ – 0)²+(senθ – 0)² = 1 ⇔ sen²θ + cos²θ=1.

Essa é a chamada relação fundamental da trigonometria.

sen²θ + cos²θ = 1

Dividindo a relação acima por cos²θ, obtemos:

1 + tg²θ = sec²θ

Dividindo a relação acima por sen²θ, obtemos:

1 + tg²θ = sec²θ

Dividindo a relação acima por sen²θ, obtemos:

1 + cotg²θ = cossec²θ

Exemplo:

Sabendo que θ ∈ [π, ^3π/₂] e que senθ = ¹/₃, calcule cosθ.

Resolução:

sen²θ + cos²θ =1 ⇒ (¹/₃)² + cos²θ = 1 ⇔ cos²θ = 1 – ¹/₉ = ⁸/₉

Como θ ∈ [π, ^3π/₂], então cosθ<0. Assim, temos: cosθ=-^2√2/₃.