Teorema das bissetrizes internas e externas de um Triângulo

O Teorema das Bissetrizes Internas e Externas de um Triângulo é uma parte fundamental da geometria. Ele estabelece que as bissetrizes internas de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado incentro, enquanto as bissetrizes externas se encontram em outro ponto, chamado excentro. Esse teorema tem aplicações cruciais na determinação de circunferências inscritas e ex-inscritas em triângulos, além de ser utilizado em cálculos de medidas de ângulos e lados

TEOREMA DAS BISSETRIZES

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA

A bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o lado oposto internamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Seja AD a bissetriz interna do ângulo Â de um triângulo ABC, então:

Exemplo: Em um triângulo ABC de lados AB = 12, AC = 8 e BC = 10, determine o maior segmento que a bissetriz interna do ângulo Â determina sobre o lado BC.

Resolução:

O maior segmento determinado pelo pé da bissetriz, D, sobre BC é o correspondente ao maior dos lados adjacentes ao vértice A, ou seja, BD.

Sendo BD = x, pelo teorema das bissetrizes internas, temos:

TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA

A bissetriz externa de um dos ângulos de um triângulo divide o lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Seja AE a bissetriz interna do ângulo Â de um triângulo ABC, então:

Exemplo: Em um triângulo ABC de lados AB=12, AC=8 e BC=10, determine a distância entre o pé da bissetriz externa do ângulo Â e o vértice mais próximo do lado BC.