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Sistemas Lineares: Equação

Equações e sistemas lineares são pilares da álgebra linear. Equações lineares são expressões com variáveis de grau 1, enquanto sistemas consistem em múltiplas equações. Resolver essas equações ou sistemas envolve encontrar valores que satisfaçam todas as condições simultaneamente. Essa abordagem é fundamental para modelar situações do mundo real, resolvendo sistemas de equações complexos.

EQUAÇÃO LINEAR

É Toda equação da forma a1x1 + a2x2 +⋯+ anxn = b onde a1, a2, ⋯, an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2,⋯ xn e b é um número real chamado termo independente.

Observação: Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea.

Exemplos:

SISTEMA LINEAR

Definição: Um conjunto de equações lineares da forma 

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR

Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados (r1, r2,⋯,rn) que é, simplesmente, solução de todas equações do sistema.

MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR 

MATRIZ INCOMPLETA

É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Exemplos:

MATRIZ COMPLETA

É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa referente ao sistema anterior é

SOLUÇÕES DE UM SISTEMA HOMOGÊNEO

A n-upla (0, 0, 0, …, 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

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