PROPRIEDADES DOS SISTEMAS EQUIVALENTES
I. Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente.
II. Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k ∈ R*, obtemos um sistema equivalente a c anterior.
III. Adicionando a uma das equações de um sistema o produto c de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k ∈ R*, obtemos um sistema equivalente ao anterior.
SISTEMAS ESCALONADOS
A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de (Cramer). Além disso, quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equações e quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema.
Dado um sistema linear:
onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação.
PROCEDIMENTOS PARA ESCALONAR UM SISTEMA
1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Exemplo:
1. Vamos escalonar o sistema abaixo:
Para facilitar trocamos a 1ª e 3ª equação, pois esta possui coeficiente de x igual a 1.
Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: (x, y, z)=(2,1,2).
2. Vamos escalonar o sistema abaixo:
Dessa forma fica escalonado. Como não existe valor real de z, tal que 0 · z = -2, o sistema é impossível e, portanto não tem solução.
3. Vamos escalonar o sistema abaixo:
O sistema está escalonado. Entretanto, o número de equações (m) é menor que o número de incógnitas (n). Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções.
Fazendo Z = α e substituindo esse valor na 2ª equação, obtemos: y + 4α = 13 ⇒ y = 13 – 4α.
Substituímos esses valores na 1ª equação x = 6 – 13 + 4α – α ⇒ x =-7 + 3α :
Assim, a solução do sistema é dada por: S = {(-7 + 3α, 13 – 4α, α)}, sendo α ∈ R.
Para cada valor que seja atribuído a α, encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. Por exemplo α = 1 ⇒ S = {(-7 + 3(1),13 – 4(1), 1)} = {(-4, 9, 1)}.
