CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES
- Possível {determinado (solução única), indeterminado (infinitas soluções)
- impossível (não tem soluções)
Exemplos:
{x + y = 8
{2x – y = 1
Tem solução única: o par ordenado (3,5). Portanto o sistema é possível e determinado.
{x + y = 8
{2x + 2y = 16
Tem infinitas soluções: algumas são dadas pelos pares ordenados: (0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), …. Portanto o sistema é possível e indeterminado.
{x + y = 10
{-x – y = 10
Não tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equações. Portanto o sistema é impossível.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM SISTEMA LINEAR
SISTEMA NORMAL
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e o determinante da matriz incompleta associada ao de incógnitas (n) e o sistema é diferente de zero, ou seja, se m = n e det A ≠ 0, o sistema é normal.
Observação: todo sistema normal é possível e determinado e, portanto, tem solução única.
Exemplo: determinar k ∈ R, de modo que o sistema abaixo seja normal
{kx + y = 3
{x + ky = 5
Solução: para o sistema ser normal temos que observar duas condições: m=n e det A ≠ 0
1ª condição: m = 2 e n = 2 ⇒ m = n
No sistema, o número de equações m=2 é igual ao número de incógnitas n=2
2ª condição:
Logo, o sistema é normal para qualquer k real diferente de 1 e de -1 .
REGRA DE CRAMER
Todo sistema normal tem uma única solução dada por xi = Di/D , onde i ∈ {1, 2, 3, ⋯, n}, D = det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e Di é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Solução:
Portanto, como o sistema é normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolvê-lo.
1º Passo: Calcular Dx e Dy
- Substituindo, na matriz incompleta
a coluna C1 pela coluna formada pelos termos independentes, encontramos
- Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independentes, encontramos
2º Passo: Encontrar x e y:
Logo, (x, y)=(3,1) é a solução do sistema dado.
Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se
D ≠ 0 ⇒ sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única.
D = 0 ⇒ Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter solução).
Observações:
1) Se o D ≠ 0, o sistema será SPD e portanto teremos uma única solução para o problema.
2) Se D = 0, sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os Di’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma?
Se todos os Di forem iguais a 0 , teremos um SPI
Se pelo menos um Di diferente de zero, teremos um SI.
