São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica.
Para uma equação do 2° grau, da forma ax² + bx + c = 0, já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2.
Para uma equação do 3° grau, da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, sendo x1, x2 e x3 as raízes, temos as seguintes relações de Girard.
Para uma equação do 4º grau, da forma ax4 + bx2 + cx2+ dx + e = 0, sendo as raízes iguais a x1, x2, x3 e x4, temos as seguintes relações de Girard.
De maneira geral sendo um polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1+…+ a1x + a0 teremos
O que importa é que sempre a soma das raízes tomadas uma a uma (soma simples) será – an-1/an enquanto o produto sempre será o termo independente sobre o coeficiente do monômio de maior grau, com sinal de menos na fórmula quando for um polinômio de grau ímpar e de sinal positivo na fórmula quando for um polinômio de grau par, assim (-1)n a0/an.
ProBizu: sempre a partir da soma das raízes uma a uma as fórmulas vão alternando sinal, –, +, –, …
RAÍZES COMPLEXAS
Se uma equação polinomial de coeficientes REAIS admite como raiz o número complexo a+bi então, obrigatoriamente, a equação polinomial também admite como raiz o conjugado a-bi.
Assim sempre que um número complexo z é raiz então z¯ também é.
Da mesma forma se z é uma raiz de multiplicidade n então z¯ também será raiz de mesma multiplicidade n.
Dessa forma podemos concluir que raízes que não são números reais puros sempre são raízes em pares de uma equação polinomial P(x).
Assim podemos também enunciar que uma equação polinomial de grau ímpar sempre admite pelo menos uma raiz real pura.
TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS
O teorema das raízes racionais, também conhecido por teorema do teste das raízes racionais, estabelece uma condição sobre as soluções racionais de uma equação polinomial.
Sendo an · xn + an-1 · xn-1 + an-2 · xn-2+…+a1 · x + a0 = 0 uma equação polinomial de coeficientes inteiros o teorema estabelece que se a0 e an são diferentes de zero, então, cada solução racional x, quando escrita como uma fração irredutível x = p/q.
Se a equação polinomial admite raízes racionais elas são frações dentre todas as possibilidades de
Exemplo:
Para a equação polinomial 2x3 + x – 1 = 0 se utilizarmos o teorema veremos que an = 2 e a0 = -1, assim os divisores de an são {-2,-1,1,2} e de a0 são {-1,1}. Assim todas as frações possíveis que podem ser formadas com esses 2 conjuntos da forma:
são -1,-1/2, 1/2 e 1. Onde testando os 4 candidatos verificamos que nenhum é raiz e concluímos dessa forma que 2x³ + x – 1=0 não possui nenhuma raiz racional.
ProBizu
I. Como consequência desse teorema temos que “Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x)=0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz)”.
Exemplo:
1 é raiz de 40x5 – 10x3 + 10x -40=0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero.
II. Todo teste de candidatos a raízes do teorema das raízes racionais deve ser feito no dispositivo prático de Briot-Ruffini pois faz com que o trabalho seja reduzido.
TEOREMA DE BOLZANO
Sejam P(x)=0 uma equação polinomial com coeficientes reais e ]a,b[ um intervalo real aberto.
I. Se P(a) e P(b) tem os mesmos sinais então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais da equação no intervalo ]a,b[.
II. Se P(a) e P(b) tem sinais contrários então existe um número ímpar de raízes reais da equação no intervalo ]a,b[.
RAÍZES COMUNS
As raízes comuns de P(x) e Q(x) são as raízes do mdc (P(x),Q(x)).
Algumas propriedades importantes que sempre são válidas estarem na ponta da língua:
I. Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes.
Exemplo:
A equação x³ – x = 0 possui 3 raízes a saber: x=0 ou x=1 ou x=-1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S={0,1,-1}.
II. Se b for raiz de P(x)=0, então P(x) é divisível por x – b.
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x-b, aplicando BriotRuffini.
III. Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a – bi também será raiz
Exemplo:
Qual o grau mínimo da equação P(x)=0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 – 3i. Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 – 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, pela propriedade I, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.
IV. Se a equação P(x) = 0 possuir k¯ raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k¯.
Exemplo:
a) A equação (x – 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10 .
b) a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
c) A equação do segundo grau x2 – 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x” = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
V. Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável.
Exemplo:
a) A equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas.
b) A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!
Se x1, x2, x3, …, xn são raízes da equação an . xn + an-1 . xn-1 + an-2 . xn-2 + … + a1 . x + a0 = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada an(x – x1)(x – x2) . (x – xn)
Exemplo:
Se -1,2 e 53 são as raízes de uma equação do 3° grau, então podemos escrever (x + 1) · (x – 2)·(x – 53) = 0, que desenvolvida fica x3 – 54x2 + 51x + 106 = 0.
