RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL
Dada uma equação polinomial P(x)=0, chama-se raiz da equação todo número que, substituído no lugar de x torna a sentença verdadeira.
Assim r é dito raiz de P(x) se e somente se P(r) = 0.
Chama-se conjunto-solução ou conjunto-verdade em C da equação polinomial P(x)=0 o conjunto S cujos elementos são as raízes complexas da equação (não esquecer que R ⊂ C).
Exemplo:
O conjunto-soluçăo da equação polinomial x³ – 2x – x + 2 = 0 é S={1, 2, -1}.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Toda equação polinomial an · xn + an-1 · xn-1 + an-2 · xn-2+…+ a1 · x + a0 = 0 admite n raízes complexas.
FORMA FATORADA
Todo polinômio de grau n, (n ≥ 1), pode ser decomposto em n binômios de grau 1, onde essa forma se chama forma fatorada de um polinômio e expõe todas as suas raízes.
P(x) = an(x – r1)(x – r2)…(x – rn)
Exemplo:
a) Fatorar o polinômio P(x) = 5x5 – 5x4 – 80x + 80 sabendo que suas raízes são 1, -2, 2, -2i, 2i.
Assim P(x) = 5(x-1)(x+2)(x-2)(x+2 i)(x-2 i)
b) Qual o conjunto solução da equação 2(x-2)3(x-1)2(x-3) = 0? De que grau é esse polinômio?
O grau do polinômio é dado pela soma dos expoentes dos fatores, assim 3+2+1=6.
2(x-2)3(x-1)2(x-3) = 0 é equivalente a 2(x-2)(x-2)(x-2)(x-1)(x-1)(x-3)=0.
Dessa forma igualando cada fator a 0 teremos as raízes {1,1,2,2,2,3} e conjunto-solução {1,2,3}.
MULTIPLICIDADE DE RAÍZES
Quando temos an(x – r1)α · (x – r2)β…(x – rn)γ = 0 temos que r1 é raiz um número α de vezes, que r2 é raiz um número β de vezes e assim para todos os fatores que possuem expoentes.
No exemplo visto anteriormente 2(x-2)3(x-1)2(x-3) = 0, a raiz 1 é uma raiz de multiplicidade 2 , a raiz 2 é uma raiz de multiplicidade 3 enquanto a raiz 3 é apenas de multiplicidade 1.
