Progressão geométrica (P.G.)

DEFINIÇÃO

Dados os números a ∈ R e q ∈ R, a sequência (a₁, a₂, a₃, …) é uma P.G. se e somente se 

Termo Geral da P.G.: a_n = a₁ · q^n-1

Exemplos:

S₁ ={2, 6, 18, 54,…} ⇒ a₁= 2 e q= 3
S₂ ={4, 4, 4, 4,…} ⇒ a₁= 4 e q= 1
S₃ ={8, 4, 2, 1,…} ⇒ a₁= 8 e q= ¹/₂
S₄ ={3, -6, 12, -24,…} ⇒ a₁= 3 e q= -2

CLASSIFICAÇÃO 

CRESCENTES 

Uma progressão geométrica é crescente quando o termo subsequente é maior que o termo anterior.

a_n+1 > a_n

Caso 1: a₁ > 0

Para que uma P.G. de primeiro termo positivo seja crescente devemos ter q > 1.

Caso 2: a₁ < 0

Para que uma P.G. de primeiro termo negativo seja crescente devemos ter 0 < q < 1.

Exemplos: 

(2, 6, 18, 54, …) é uma P.G. crescente pois o primeiro termo é positivo (a₁ = 2) e a razão é maior que 1(q = 3).

(-4,-2,-1,- ¹/₂ , – ¹/₄ , …) é uma P.G. crescente pois o primeiro termo é negativo (a₁ = -4) e a razão é um número compreendido entre 0 e 1(q = ¹/₂.)

DECRESCENTES 

Uma progressão geométrica é decrescente quando o termo subsequente é menor que o termo anterior.

a_n+1 < a_n

Caso 1: a₁ > 0

Para que uma P.G. de primeiro termo positivo seja decrescente devemos ter 0 < q < 1.

Caso 2: a₁ < 0

Para que uma P.G. de primeiro termo negativo seja decrescente devemos ter q > 1.

Exemplos: 

(18, 6, 2, ²/₃ , …) é uma P.G. decrescente pois o primeiro termo é positivo (a₁ = 18) e a razão está entre 0 e 1(q = ¹/₃).

 (-1, -2, -4, -8, -16, …) é uma P.G. decrescente pois o primeiro termo é negativo (a₁ = -1) e a razão é maior que 1(q = 2).

ALTERNANTES 

Uma progressão geométrica é alternante quando o termo subsequente possui o sinal contrário do termo anterior.

a_n+1 · a_n <0

Para que uma P.G. seja alternante basta que a sua razão seja negativa (q < 0)

Exemplo:

(3, -6, 12, -24, 48, …) é uma P.G. alternante pois a sua razão é negativa (q = -2).

CONSTANTE 

Uma progressão geométrica é constante quando todos os termos são iguais.

a_n+1 = a_n

Para que uma P.G. seja constante basta que a razão seja igual a 1 ou o caso particular de primeiro termo igual a 0 e qualquer razão.

Exemplo:

(4, 4, 4, 4, 4, …) é uma P.G. constante pois a razão é igual a 1 (q = 1)

(0, 0, 0, 0,…) é uma P.G. constante e não é possível determinarmos a razão.

A P.G. (0, 0, 0, 0,…) é chamada de P.G. constante de razão indeterminada.

ESTACIONÁRIA

Uma progressão geométrica é estacionária quando sua razão é igual a 0(q = 0) e o primeiro termo é diferente de 0(a₁ ≠ 0).

(4, 0, 0, 0, 0, …) é uma P.G. estacionária pois q = 0 e a₁ = 4.

REPRESENTAÇÕES DE UMA P.G.

1°) P.G. de 3 termos: (^x/_q , x , xq)
2°) P.G. de 5 termos: (^x/_q2 , ^x/_q , x , xq , xq²)
3°) P.G. de 4 termos: (^x/_y3 , ^x/_y , xy , xy³) ⇒ATENÇÃO: q = y²

CONDIÇÃO PARA QUE 3 TERMOS EM SEQUÊNCIA FORMEM UMA P.G.

Exemplo:

Encontre o valor de x para que os termos (x + 1, x + 9, x + 15) formem, nessa ordem, uma progressão aritmética.

TERMO GERAL DA P.G

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Numa sequência (a₁, a₂, …, a_n-1, a_n) teremos as “pontas” {a₁, a_n} chamadas de extremos e o restante dos termos {a₂, a₃, …, a_n-2, a_n-1} chamados de meios.

Dessa forma interpolar y meios geométricos é colocar y termos entre os extremos {a₁, a_n}.

Exemplo:

Interpole 4 meios geométricos (reais) entre 4 e 972 .

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA (0 < q < 1)

Para uma P.G. decrescente (0 < q < 1) é possível calcular a soma dos termos de uma P.G. infinita, pois na fórmula S_n = ^a1(qn-1)/_q-1 podemos observar que qⁿ para uma razão q onde, 0 < q < 1, tenderá a um valor muito próximo de 0 quando o expoente n tender a um valor muito grande.