Progressão aritmética (P.A.)

DEFINIC̣ÃO

Dados os números a ∈ R e r ∈ R, a sequência (a₁, a₂, a₃, ⋯) é uma P.A. se e somente se

Termo geral da P.A.:  a_n = a₁ + (n – 1)r

Exemplos: 

S₁ = {-2, 3, 8, 13,…} ⇒ a₁ = -2 e r = 5
S₂ = {4, 4, 4, 4,…} ⇒ a₁ = 4 e r = 0
S₃ = {5, 2, -1, -4,…} ⇒ a₁ = 5 e r = -3

CLASSIFICAÇÃO DA P.A.

Crescente ⇔ r > 0
Constante ⇔ r = 0
Decrescente ⇔ r < 0

REPRESENTAÇÕES DE UMA P.A.

1º) P.A. de 3 termos: (x – r, x, x + r)
2º) P.A. de 5 termos: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
3º) P.A. de 4 termos: (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y) ⇒ ATENÇĀO: r = 2y

CONDIÇÃO PARA QUE 3 TERMOS EM SEQUÊNCIA FORMEM UMA P.A.

(…, a_n-1, a_n, a_n+1, …) ⇒ a_n+1 – a_n = a_n – a_n-1 ⇒ 2a_n = a_n+1 + a_n-1 ⇒ a_n = ^an+1+an-1/₂

Exemplo:

Encontre o valor de x para que os termos (x + 1, 2x – 3, 4x – 2) formem, nessa ordem, uma progressão aritmética.

4x – 2 – 2x + 3 = 2x – 3 – x – 1 ⇒ 2x + 1 = x – 4 ⇒ x = -5
4x – 2 – 2x + 3 = 2x – 3 – x – 1 ⇒ 2x + 1 = x – 4 ⇒ x = -5
(-4, -13, -22) ⇒ r = -9

TERMO GERAL DA P.A.

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA 

Numa sequência (a₁, a₂, …, a_n-1, a_n) teremos as “pontas” {a₁, a_n} chamadas de extremos e o restante dos termos {a₂, a₃,…, a_n-2, a_n-1} chamados de meios.

Dessa forma interpolar y meios aritméticos é colocar y termos entre os extremos {a₁, a_n.}

Exemplo: interpole 5 meios aritméticos entre 5 e 41.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA

{a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, …, a₁ + (n-2)r, a₁ + (n-1)r} =
{a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, …, a₁ + nr-2r, a₁ + nr – r}

{a₁ + a₁ + r, a₁ + 2r₁…, a₁ + nr – 2r, a₁ + nr – r}
{a₁ + nr – r, a₁ + nr – 2r, …, a₁ + 2r, a₁ + r,a₁}

Somando os termos equidistantes (a₁ + a_n, a₂ + a_n-1,…, a_n + a₁) teremos sempre

ProBizu

1º) A soma de 2 termos equidistantes numa P.A. é sempre constante e para verificar quais são os pares de termos equidistantes em qualquer P.A. basta lembrar que a₁ e a_n são sempre equidistantes e seus índices somam “n + 1” assim qualquer outro par de termos que os índices somarem “n + 1” também serão equidistantes.

2º) Outro fato importante quanto a equidistância de termos se dá na fórmula da soma dos termos de uma P.A. A soma (a₁ + a_n) pode ser substituída por qualquer outra soma de pares de termos equidistantes, veja o exemplo.

Exemplo: numa P.A. de 15 termos o 8º termo é igual a 12 , encontre a soma dos 15 termos dessa P.A.

Pela fórmula da soma teremos S₁₅ = ^(a1+a15).15/₂ , onde a soma a₁+a₁₅ pode ser substituída pela soma de quaisquer 2 outros pares de termos equidistantes, pela nossa regra todos os termos que os índices somarem 16(n + 1) serão equidistantes, dessa forma são equidistantes: a₁ e a₁₆, a e a₁₅, a₃ e a₁₅,…, a₈ e a₈ (numa P.A. de quantidade de termos ímpar o termo central é equidistante de si mesmo) assim podemos usar na fórmula da soma dos termos S₁₅ = ^(a8+a8)·15/₂ = ^(2a8).15/₂ = ^2.12·15/₂ = 180, assim por exemplos todos os termos que os índices somarem 29 serão equidistantes, como a₅ e a₂₄, a₁₁ e a₁₈ como tantos outros.