Progressão aritmética

DEFINIÇÃO

Uma sequência a₁ , a₂ , a₃ , … é dita uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) se a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante, isto é, se a_n+1 − a_n = r, para todo n inteiro positivo e onde r é uma constante. Neste caso, dizemos que r é a razão desta PA.

Exemplos:

I. 1, 1, 1, 1, 1 é uma progressão aritmética com 5 termos e cuja razão é igual a 1 – 1 = 0.
II. 1, 2, 3, 4, 5, 6, … é uma progressão aritmética infinita com razão 1.
III. 1, ¹/₂ , 0, − ¹/₂ , −1, − ³/₂ é uma progressão aritmética com 6 termos e cuja razão é – ¹/₂ .

CLASSIFICAÇÃO

CRESCENTES: aquelas onde cada termo é maior que o anterior, ou seja, onde a razão é positiva.

Exemplo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

CONSTANTES: aquelas onde cada termo é igual ao anterior, ou seja, aquelas PA’s com razão nula.

Exemplo:

1, 1, 1, 1, 1

DECRESCENTES: aquelas onde cada termo é menor que o anterior, ou seja, onde a razão é negativa.

CONDIÇÃO PARA QUE 3 TERMOS EM SEQUÊNCIA FORMEM UMA P.A.

Exemplo:

Encontre o valor de x para que os termos (x + 1, 2x − 3, 4x − 2) formem, nessa ordem, uma progressão aritmética.

TERMO GERAL

Vamos deduzir agora fórmulas para encontrar um termo de uma PA se conhecermos outro termo e a razão.

N-ÉSIMO TERMO EM FUNÇÃO DO PRIMEIRO

Como a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual à razão da PA, podemos escrever:

Somando estas n – 1 equações, repare que há cancelamento de vários termos:

Assim, sobrarão apenas os termos a_n e a₁ e então obtemos que a_n − a₁ − (n−1) · r.

a_n = a₁ + (n − 1) · r

N-ÉSIMO TERMO EM FUNÇÃO DO P-ÉSIMO

Com um procedimento análogo ao do item anterior, podemos deduzir que: 

a_n = a_p + (n − p)·r

Veja que esta fórmula permite relacionar quaisquer dois termos de uma PA. Além disso, a fórmula deduzida em I é um caso particular desta.

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os extremos a e b significa construir uma progressão aritmética de k + 2 termos, sendo que o primeiro termo é igual a a e o segundo termo é igual ab. Vejamos um exemplo:

Exemplo:

Intercalar 10 meios aritméticos entre os extremos 2 e 57.

Solução:

Queremos construir uma PA a₁ , a₂, …, a₁₂ de forma que a₁ = 2 e a₁₂ = 57. Com base nisto, vamos determinar a razão r da PA: pela fórmula do termo geral, temos que a₁₂ = a1 + (12−1) · r. Substituindo a₁ = 2 e a₁₂ = 57, segue que 57 = 2 + 11 · r ⇔ r = 5. Desta forma, os meios que devemos inserir são: 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52.

SOMA DOS TERMOS

Agora, estaremos interessados em calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética: S_n = a₁ + a₂ +…+ a_n−1 + a_n . Para isso, precisaremos do seguinte:

ProBizu:

Podemos representar PA’s da seguinte forma bastante útil:

3 termos: (x − r, x, x + r)
4 termos: (x − 3y, x − y, x + y, x + 3y), onde y = ^r/₂
5 termos: (x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r)

Para mais termos, o procedimento é completamente análogo.

Para calcular S_n , utilizaremos o seguinte artifício (escreveremos a soma desejada na ordem inversa)

Somando estas duas últimas equações, temos que

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n−1) +…+ (a_n−1 + a₂) + (a_n + a₁)

Utilizando o ProBizu, segue que 2S_n = n · (a₁ + a_n) e então obtemos a seguinte fórmula para a soma dos termos de uma PA:

Eu gosto de gravar esta soma com a seguinte frase: “a soma dos termos de uma PA é igual ao primeiro termo mais o último termo vezes a quantidade de termos; isso tudo dividido por 2”.

Observação:

1°) A soma de 2 termos equidistantes numa P.A. é sempre constante e para verificar quais são os pares de termos equidistantes em qualquer PA basta lembrar que a₁ e a_n são sempre equidistantes e seus índices somam “n + 1” assim qualquer outro par de termos que os índices somarem “n + 1” também serão equidistantes.
PA de 28 termos: {{a₁ , a₂, …, a₂₇, a₂₈} ⇒ n + 1 = 29, assim por exemplos todos os termos que os índices somarem 29 serão equidistantes, como a₅ e a₂₄ , a₁₁ e a₁₈ , como tantos outros.
2°) Outro fato importante quanto a equidistância de termos se dá na fórmula da soma dos termos de uma PA. A soma (a₁ + a_n) pode ser substituída por qualquer outra soma de pares de termos equidistantes, veja o exemplo.

Exemplo:

Numa P.A. de 15 termos o 8° termo é igual a 12, encontre a soma dos 15 termos dessa PA.

Pela fórmula da soma teremos S₁₅ = ^(a1+a15).15/₂ , onde a soma a₁ + a₁₅ pode ser substituída pela soma de quaisquer 2 outros pares de termos equidistantes, pela nossa regra todos os termos que os índices somarem 16 (n + 1) serão equidistantes, dessa forma são equidistantes:  a₁ e a₁₆ , a₂ e a₁₅ , a₃ e a₁₅ , …, a₈ e a₈ (numa PA de quantidade de termos ímpar o termo central é equidistante de si mesmo) assim podemos usar na fórmula da soma dos termos: