Potência de Ponto

A potência de um ponto P em relação a um círculo de centro O e raio R é dada por Pot_(O)P = d² − R², onde d é a distância de P ao centro do círculo.

P exterior ao círculo ⇒ d > R ⇒ Pot_(O)P > 0
P pertence ao círculo ⇒ d = R ⇒ Pot_(O)P = 0
P interior ao círculo ⇒ d < R ⇒ Pot_(O)P < 0

Se um ponto está sobre uma circunferência, então a sua potência em relação à essa circunferência é nula.

Observe nas figuras a seguir que, pelo teorema de Pitágoras, temos PT² = |d² − R²| = |Pot_(O)P|.

Exemplo:

Considerando o círculo da figura de centro O, calcule Pot_(O)A + Pot_(O)B + Pot_(O)C.

Resolução:

POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR

Se por um ponto P exterior a uma circunferência são traçadas duas secantes PAB e PCD a essa circunferência, então PA ⋅ PB = PC ⋅ PD.

Exemplo:

Calcule x na figura a seguir:

Resolução:

Se por um ponto P exterior a uma circunferência são traçadas uma secante PAB e uma tangente PT a essa circunferência, então PT² = PA ⋅ PB.

Exemplo:

Calcule x na figura a seguir:

Resolução:

Sabe-se que PC²= PA ⋅ PB ⇔ x² = 2 ⋅ 5 ⇔ x = √10.

Se por um ponto P exterior a uma circunferência de raio R e distante d unidades de seu centro (d > R) é traçada uma secante PAB a essa circunferência, então PA ⋅ PB = d² − R².

Exemplo:

Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio P e tal que OP = R√3. Traça-se por P a secante PAB ao círculo. Se PA = R, então calcule AB em função de R.

Resolução:

Usando a proposição anterior, temos:

Observe que você poderia prolongar PO até encontrar a circunferência, obtendo uma segunda secante, e encontraria a mesma relação.

POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR

Se por um ponto P interior a uma circunferência são traçadas duas cordas APB e CPD nessa circunferência, então PA⋅PB=PC⋅PD.

Exemplo:

Calcule x na figura a seguir:

Resolução:

AP ⋅ BP = CP ⋅ DP
(4x−2) ⋅ 2x = (x + 1) ⋅ 4x
4x² − 8x = 0
4x(x − 2) = 0
x = 2

Note que como 2x e 4x são medidas de segmentos de reta, então x ≠ 0.

Se por um ponto P interior a uma circunferência de raio R e distante d unidades de seu centro (d < R) é traçada uma corda APB nessa circunferência, então PA ⋅ PB = R² − d².

Exemplo:

Calcule x na figura, onde O é o centro da circunferência.

Resolução:

PA ⋅ PB = R² − d² ⇔ 8 ⋅ 3 = x² − 4² ⇔ x² = 8 ⇔ x = 2√2

EIXO RADICAL

O lugar geométrico dos pontos cujas potências em relação a dois círculos não concêntricos são iguais é uma reta perpendicular à reta que une os centros dos dois círculos e é chamado eixo radical dos círculos.

Se (e.r.) é o eixo radical dos círculos de centro O₁ e O₂, então P ∈ (e.r.) ⇔ Pot_(O1)P = Pot_(O2)P.

A seguir apresentamos a posição do eixo radical para as diversas posições relativas entre os círculos.