DEFINIÇÃO
Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação
P(x) = an · xn + an-1 · xn-1 + an-2 · xn-2 +…+ a1x + a0
Onde an, an-1, an-2, …, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.
n ∈ ℕ e x ∈ ℂ (nos complexos) é a variável.
xn, xn-1, xn-2, …, x são ditos termos algébricos.
A “junção” an·xn é chamada de monômio e o grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de seus termos algébricos.
Exemplos:
2x³ → Monômio de grau 3
3xy²z → Monômio de grau 4 (1 + 2 + 1)
GRAU DE UM POLINÔMIO
O grau de um polinômio é dado pelo grau de seu maior monômio. No caso dos polinômios de apenas uma variável, que são o alvo do nosso estudo, se o coeficiente an ≠ 0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P) = n.
Exemplos:
P(x) = 5 ou P(x) = 5x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P) = 0.
P(x) = 3x + 5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P) = 1.
P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P) = 5.
VALOR NUMÉRICO
O valor numérico de um polinômio P(x) para x = a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio.
Exemplo:
Se P(x) = x3 + 2x2 + x-4, o valor numérico de P(x), para x = 2, é:
P(x) = x3 + 2x2 + x – 4
P(2) = 23 +2 ⋅ 22 + 2-4
P(2) = 14
Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
a é raiz de P(x) ⇔ P(a)=0
POLINÔMIOS IGUAIS
Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)≡B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
Exemplos:
a) Encontre os valores de m e n para que os polinômios P(x) = 4x4 + (m – 1)x2 + 3x – n e H(x) = 4x4 – 2x2 + 3x + m + n sejam iguais.
Igualando os coeficientes dos monômios de graus equivalentes teremos
b) Calcular a, b e c, sabendo-se que x² – 2x + 1 ≡ a(x² + x + 1) + (bx + c)(x + 1).
Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:
x2 – 2x + 1 ≡ ax2 + ax + a + bx2 + bx + cx + c
1x2 – 2x + 1 ≡ (a + b)x2 + (a+b+c)x + (a + c)
Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
Substituindo a 1ª equação na 2ª:
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:
a – 3 = 1 ⇒ a = 4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4 + b = 1 ⇒ b = -3.
Resposta: a = 4, b = –3 e c = –3.
Observação: Um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
