Operação com matrizes

Uma matriz de ordem m × n, M = (a_ij)_m×n‘ é uma lista de números aij, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, dispostos em m linhas e n colunas, na qual o elemento aij está localizado no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna.

Os elementos que possuem o mesmo 1° índice encontram-se na mesma linha e os que possuem o mesmo 2° índice encontram-se na mesma coluna.

A lista ordenada (a_i1, a_i2 ,…, ai_n) chama-se i-ésima linha ou i-ésimo vetor-linha da matriz. A lista ordenada (a_1j, a_2j ,…, a_mj) chama-se j-ésima coluna ou j-ésimo vetor-coluna da matriz. Assim, as linhas de uma matriz m × n são vetores do Rn e as colunas, vetores do R^m.

O número de elementos que constituem a matriz m × n é m · n.

Assim, a matriz 2 × 3 abaixo possui 2 linhas e 3 colunas e um total de 6 elementos.

Podemos identificar os elementos a₁₁ = 1, a₁₂ =2, a₁₃ = 3, a₂₁ = -3, a₂₂ = -2 e a₂₃ = -1.

A matrız constıtuída pelo mesmo número de linhas e colunas é chamada matriz quadrada. Assim, uma matriz constituída por n linhas e n colunas é uma matriz quadrada de ordem n × n ou simplesmente uma matriz quadrada de ordem n.

Em uma matriz quadrada de ordem n, o conjunto dos elementos a_ij tais que:

a. i = j chama-se diagonal principal;

b. i + j = n + 1chama-se diagonal secundária.

A soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada é chamada traço da matriz.

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes são iguais se, e somente se, possuem a mesma ordem e todos os elementos correspondentes (elementos com índices iguais, i., é que ocupam a mesma posição) são iguais. 

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem m × n, chama-se soma de A com B à matriz C = A + B, de ordem m × n, cujos elementos são obtidos somando-se os elementos correspondentes da matrizes A e B.

A adição de duas matrizes só é definida quando elas possuem a mesma ordem. Nesse caso, diz-se que elas são conformáveis para adição. 

Exemplo:

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

a) COMUTATIVA: A + B = B + A

b) ASSOCIATIVA: (A + B) + C = A + (B + C)

c) ELEMENTO NEUTRO: A + 0 = A onde 0 é a matriz nula da mesma ordem de A e possui todos os seus elementos nulos. 

d) MATRIZ OPOSTA: A + (−A) = 0 onde -A é uma matriz da mesma ordem de A e cujos elementos são opostos dos elementos correspondentes de A.

Dadas A e B duas matrizes de mesma ordem, a diferença das matrizes A − B é definida como A − B = A +(−B).

Exemplo:

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR ESCALAR

Seja um número k ∈ ℝ, e uma matriz A = (a_ij)m × n, o produto k · A é a matriz B = (b_ij)m × n obtida multiplicando-se cada elemento de A por k, isto é, b_ij = k · a_ij para todo i e todo j.

Exemplo:

PROPRIEDADES

Sejam A e B matrizes m × n e a, b ∈ ℝ.

a. 1 · A = A

b. (-1) · A = -A

c. a · 0_m×n = 0_m×n

d. 0 · A = 0_m×n

e. a · (A + B) = a · A + a · B

f. (a + b) · A = a · A + b · A

g. a · (b · A) = (ab)· A

MULTIPLICAC̣ÃO DE MATRIZES

Sejam duas matrizes A = (a_ij)m × n e B = (b_ik)n × p, o produto de A por B, A · B, é a matriz m×p, C = (C_ik)m × p, onde o elemento c_ik, localizado na i-ésima linha e k-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da k-ésima coluna de B e somando os produtos parciais assim obtidos.

Considerando as linhas da matriz A e as colunas da matriz B como vetores no Rⁿ, cada elemento c_ik é obtido pelo produto escalar do i-ésimo vetor linha de A pelo k-ésimo vetor coluna de B.

O produto de duas matrizes AB somente existe quando A possui tantas colunas quantas são as linhas de B. Nesse caso, diz-se que as duas matrizes A e B são conformáveis para a multiplicação.

O produto AB é uma matriz que possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.

Exemplo:

PROPRIEDADES

a. A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer A e B é falso que AB = BA necessariamente.

1º CASO: AB existe e BA não existe

m ≠ p ⇒ A_m×n · B_n×p = AB_m×p ⇒ B_n×p · A_m×n ⇒ ∄BA

2º CASO: AB e BA existem, mas são de tipos diferentes

A_m×n · B_n×m = AB_m×m

B_n×m · A_m×n = BA_n×n

3º CASO: AB e BA existe e são do mesmo tipo (A e B são matrizes quadradas de mesma ordem), mesmo assim em geral temos AB ≠ BA. 

4º CASO: sejam A e B matrizes quadradas e de mesma ordem, quando ocorre AB = BA, diz-se que A e B comutam.

b. Associatividade: (A · B) · C = A . (B · C)

c. Distributividade em relação à adição: 

A·(B + C) = A · B + A · C ⇔ A · (B + C) = A . B + A · C

d. (k · A) . B = A · (k · B) = k · (A · B)

e. Elemento neutro: A_m×n · I_n = I_m · A_m×n = A_m×n

f. Multiplicação pela matriz nula:

0_p×m · A_m×n = 0_p×n

A_m×n · O_n×p = 0_m×p

Observação: 

1. sendo A · B = 0 não se pode concluir que A=0 ou B=0. Veja o seguinte exemplo onde A ≠ 0, B ≠ 0 e AB = 0.

2. quando temos A · B = A · C ou (B · A = C · A) não se pode concluir que B = C,  mesmo que A ≠ 0. Veja o exemplo a seguir, onde tem-se AB = AC e B ≠ C.