Quando temos que finalizar uma equação e nos deparamos, por exemplo, com
3x = 4
Nós dizemos de maneira mais coloquial que passamos o 3 para o outro lado dividindo.
Na verdade, nós sabemos que multiplicamos ambos os lados da equação pelo inverso de 3 que é 1/3.
Mas o que é o inverso de um número? Inverso de um númer é o número que quando multiplicado pelo número inicial result no elemento neutro da multiplicação. No caso dos números reais elemento neutro da multiplicação é o número 1.
Nas operações entre matrizes o elemento neutro da multiplicação é a matriz identidade In. Sendo assim se a matriz A-1 é a matriz inversa da matriz A temos então que
A · A-1 = In
Dessa forma, mesmo não havendo divisão entre matrizes, podemos fazer um passo a passo que funciona de maneira similar, por exemplo
A · X = B
Queremos encontrar a matriz X, se estivéssemos trabalhando com números reais, bastava simplesmente fazer
Mas, em se tratando de matrizes, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por A–1, mas aqui temos um momento de muita atenção.
Em matrizes, temos que na multiplicação a ordem importa. Sendo assim, não necessariamente
A · X = B
Vamos multiplicar os dois lados por A–1 a esquerda.
A-1 · A · X = A-1 · B
Como sabemos que A-1 · A = In e que In é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, teremos
Agora vamos ao processo que utilizaremos para encontrar uma matriz inversa. Pela definição
A · A-1 = In
Então vejamos um exemplo para a matriz
Efetuaremos a multiplicação das matrizes
Agora da igualdade de matrizes teremos
Do primeiro sistema
Do segundo sistema
Como podemos perceber não é um processo curto e se fossemos utilizá-lo para uma matriz 3×3, que possui 9 elementos, teríamos 3 sistemas 3×3.
PROPRIEDADES
Se AB = I, necessariamente B = A–1 e então podemos garantir que BA = I
MATRIZ ORTOGONAL
Existe mais um tipo de matriz que é estudada majoritariamente no nível superior, em álgebra linear, a matriz ortogonal. Dentre outras propriedades, que não seriam assimiladas no momento caso aqui fossem colocadas, temos que uma matriz é ortogonal (A-t)quando sua matriz inversa é igual a matriz transposta. Ou seja
At = A-1 = A-t
Utilize o exemplo abaixo e verifique que encontrando a matriz inversa de A teremos a mesma matriz que At.
