QUADRADO
A área do quadrado é igual ao seu lado elevado ao quadrado.
Seja ℓ o lado do quadrado ABCD, então sua área é SABCD = ℓ2.
Demonstração:
Basta utilizar a expressão da área do retângulo onde a base e a altura são ambas iguais a ℓ. Assim, SABCD = ℓ ⋅ ℓ = ℓ2.
LOSANGO
A área do losango é igual à metade do produto de suas diagonais.
Seja o losango ABCD de diagonais AC = p e BD=q, então sua área é SABCD = p⋅q/2.
Demonstração:
Inicialmente, cabe observar que o losango possui diagonais perpendiculares. Assim,
TRAPÉZIO
A área do trapézio é igual ao produto da semissoma de suas bases pela sua altura.
Seja o trapézio ABCD de bases AB = B e CD = b, e altura h, então sua área é S = B+b/2 ⋅ h.
Demonstração:
ÁREA DO QUADRILÁTERO CONVEXO
A área do quadrilátero convexo é igual à metade do produto das diagonais vezes o seno do ângulo entre as diagonais.
Seja um quadrilátero convexo cujo ângulo entre as diagonais AC=p e BD = q é igual a θ, então a área do quadrilátero é S = pq/2 ⋅ sen θ.
Demonstração:
QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL
A área do quadrilátero circunscritível é igual ao produto do seu semiperímetro pelo raio do círculo inscrito.
Seja o quadrilátero circunscritível ABCD, cujo semiperímetro é p = a+b+c+d/2, então sua área é SABCD = p . r.
Demonstração:
Note que essa propriedade é válida para qualquer polígono circunscritível.
QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL
Seja o quadrilátero inscritível ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c e DA = d, e semiperímetro p = a+b+c+d/2, então sua área:
Demonstração:
Aplicando a lei dos cossenos no ΔABD, temos:
BD2 = a2 + d2 − 2ad ⋅ cos A^ (*)
Aplicando a lei dos cossenos no ΔBCD, temos:
BD2 = b2 +c2 − 2bc . cos C^ (**)
Como o #ABCD é inscritível, então  + C^ = 180° ⇒ cos C^ = −cos  ∧ sen C^ = sen Â.
Igualando (*) e (**), temos:
QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL E CIRCUNSCRITÍVEL
A área do quadrilátero inscritível e circunscritível é igual à raiz quadrada do produto dos seus lados.
Seja o quadrilátero inscritível e circunscritível ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c e DA = d, então sua área é:
Demonstração:
Como o #ABCD é circunscritível, então, pelo teorema de Pitot, temos: a + c = b + d = p. Assim, a = p − c, c = p − a, b = p − d e d = p − b.
Utilizando a fórmula para o cálculo da área do quadrilátero inscritível, temos: