FIGURAS EQUIVALENTES E RAZÃO ENTRE ÁREAS
Figuras equivalentes são aquelas que possuem a mesma área.
Se dois triângulos possuem bases e alturas congruentes, então eles são equivalentes.
Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre suas áreas é o quadrado da razão de semelhança.
onde k é a razão de semelhança.
Note que essa propriedade vale para quaisquer figuras semelhantes, não só para triângulos.
Exemplo: Sejam M e N pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, de um triângulo ABC. Calcule a razão entre as áreas dos triângulos AMN e ABC.
MN é base média do triângulo ABC, então MN || BC e MN = BC/2.
Se dois triângulos possuem bases sobre a mesma reta e vértice comum, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases.
Uma consequência imediata da proposição anterior é que a razão entre as áreas em que uma ceviana divide um triângulo é igual à razão entre as medidas dos segmentos em que essa ceviana divide o lado, ou seja:
Exemplo: Seja um triângulo ABC de lados AB = 4 e AC = 5, e o ponto D sobre BC é o pé da bissetriz do ângulo Â. Calcule a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ACD.
Pelo teorema da bissetriz interna, temos:
A razão entre as áreas dos triângulos ABD e ACD é:
Uma mediana divide o triângulo em duas regiões equivalentes.
Seja AM a mediana relativa ao lado BC do ∆ABC.
As três medianas de um triângulo dividem esse triângulo em seis triângulos equivalentes.
Sejam AM, BN e CP as medianas do ∆ABC, então
As três bases médias de um triângulo dividem o triângulo em quatro regiões equivalentes.
Sejam M, N e P os pontos médios dos lados do ∆ABC, então
