DIVISÃO DE SEGMENTOS
DIVISÃO INTERNA
Um ponto M divide um segmento A̲B̲ internamente na razão k > 0, quando M pertence ao segmento AB e AM/MB = k.
Os segmentos AM e MB são ditos segmentos aditivos, pois sua soma é igual a AB.
Seja AB = d, então:
Se 0 < k < 1 ⇒ dk < d ⇒ AM < MB, então M está mais próximo de A.
Se k = 1 ⇒ AM = MB, então M é ponto médio de AB.
Se k > 1 ⇒ dk > d ⇒ AM > MB, então M está mais próximo de B.
Exemplo: Um ponto M divide o segmento A̲B̲, de 18 cm, internamente na razão 2/7. Calcule MA e MB.
Resolução:
Segmentos aditivos: AB = MA + MB = 18 ⇒ 2k + 7k = 18 ⇔ k = 2 ⇒ MA = 2k = 2 ⋅ 2 = 4 e MB = 7k =7 ⋅ 2 = 14
DIVISÃO EXTERNA
Um ponto N divide um segmento A̲B̲ externamente na razão 0 < k ≠ 1, quando N pertence à reta suporte do segmento AB, mas não ao próprio segmento, e NA/NB = k.
Os segmentos NA e NB são ditos segmentos subtrativos, pois o módulo da sua diferença é igual a AB.
Seja AB = d, então:
Se 0 < k < 1 ⇒ dk < d ⇒ NA < NB, então N está à esquerda de A.
Se k > 1 ⇒ dk > d ⇒ NA > NB, então N está à direita de B.
Exemplo: Um ponto N divide o segmento A̲B̲, de 18 cm, externamente na razão 4/7. Calcule NA e NB.
Resolução:
Observe, inicialmente, que, como a razão de divisão externa é 4/7 < 1, então NA < NB e o ponto N deve estar à esquerda do segmento A̲B̲.
DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO (DIVISÃO ÁUREA)
Um ponto P divide internamente um segmento de reta A̲B̲ segundo uma razão áurea (φ) quando a primeira parte está para a segunda parte assim como o segmento todo está para a primeira parte, ou seja,
O ponto P assim obtido é denominado ponto áureo de A̲B̲ e o segmento P̲A̲, segmento áureo de A̲B̲.
Note que o segmento áureo (PA) é a média geométrica entre o segmento dado (AB) e o outro segmento aditivo (PB).
Sejam AP = a, PB = b, AB = a + b, onde o ponto P divide A̲B̲ auricamente, temos:
