Geometria Plana: Altura e mediana

Altura e mediana são termos fundamentais na geometria. A altura é uma linha perpendicular de um vértice a um lado oposto de um triângulo, enquanto a mediana é uma linha que liga um vértice a um ponto médio do lado oposto. Essas linhas são essenciais na análise de propriedades de triângulos e cálculos de áreas, desempenhando um papel crucial na geometria plana.

ALTURA

Seja um triângulo ABC de lados B̲C̲ = a, A̲C̲ = b e A̲B̲ = c, semiperímetro p, e alturas h_A, h_B e h_C relativas aos lados B̲C̲, A̲C̲ e A̲B̲, respectivamente, então

Demonstração:

Seja BH_A = x, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABH_A temos:

Aplicando a lei dos cossenos no ∆ ABC, temos:

Analogamente, prova-se que:

MEDIANA

Seja um triângulo ABC de lados B̲C̲ = a, A̲C̲ = b e A̲B̲ = c, e medianas A̲M̲ = m_A, B̲N̲ = m_B e C̲P̲ = m_C relativas aos lados B̲C̲, A̲C̲ e A̲B̲ , respectivamente, então