QUADRADO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2+ 2ab +b2
(a + b)2 = a2 + 2ab +a2
(a – b)2 = (a+(-b))2 = a2 + 2a · (- b) + (- b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Exemplos:
(a + 4)2 = a2 + 2 · a · 4 + 42 = a2 + 8a + 16
(a – 7)2 = a2 – 2 · a · 7 + 72 = a2 – 14a + 49
QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS
(a + b + c)2 = ((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Exemplos:
(a + b + 1)2 = a2 + b2 + 12 + 2ab + 2a · 1 + 2b · 1=
a2 + b2 + 2ab + 2a + 2b + 1(a + 2b – 3c)2 =
a2 + (2b)2 + (-3c)2 + 2a · (2b) + 2a · (-3c) + 2 · (2b) · (-3c) =
a2 + 4b2 + 9c2 + 4ab – 6ac – 12bc
ProBizu: se quisermos calcular o quadrado da soma de mais termos, o procedimento é completamente análogo. Temos, (a + b + … + k + ℓ)2 = a2 + b2 + ⋯+ k2 + ℓ2 + 2ab + 2ac + ⋯ + 2aℓ+…+2kℓ, ou seja, o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados mais duas vezes a soma dos produtos dos termos tomados dois a dois.
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Exemplo: (x + 4y)(x – 4y) = x2 – (4y)2 = x2 – 16y2
CUBO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) =
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = (a+(- b))3 = a3 + 3a2 · (- b) + 3a · (- b)2 + (- b)3 =
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Exemplos:
(x + 2)3 = x3 + 3x2 · 2 + 3x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x +8
(a – 4b)3 = a3 – 3a2 · (4b) + 3a · (4b)2 – (4b)3 =
a3 – 12a2b + 48ab2 – 64b3
ProBizu: pode ser útil escrever estes produtos notáveis das seguintes formas:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
TRIÂNGULO DE PASCAL
Podemos generalizar os produtos notáveis 2 . 1 e 2 . 4 para calcular expressões como (a + b)4,(a + b)5,(a + b)6,…. Para isso, usaremos o triângulo de Pascal (associado ao binômio de Newton que será estudado mais adiante):
A linha de número k (a contagem inicia da linha 0) do triângulo de Pascal corresponde aos coeficientes da expansão de (a + b)k . Assim, temos por exemplo:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a +b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Exemplo:
(a + 2)5 = a5 + 5a4 . 2 + 10a3 . 22 + 10a2 . 23 + 5a . 24 + 25 = a5 + 10a4 + 40a3 + 80a2 + 80a + 32
