EQUAÇÕES MODULARES
As equações modulares podem ser resolvidas utilizando as seguintes propriedades.
a ≥ 0 ⇒ ( | x | = a ⇔ x = a ou x = – a
| x | = | y | ⇔ x = y ou x =-y
Exemplos:
1) Resolva a equação |x-2|=6
2) Resolva a equação |x-3|=|4 x-1|
3) Resolva a equação |3 x+9|=1-x
Para que a equação tenha solução é necessário que 1-x≥0, isto é, x≤1. Supondo está condição válida, tem-se:
Como os valores obtidos satisfazem a condição inicial ambos são soluções: S={-2,-5}.
As equações modulares que apresentam soma ou subtração de módulos necessitam que seja realizado um estudo de sinal para a sua solução.
Exemplo:
Resolva a equação |x-1|+|x+6|=13.
Em primeiro lugar deve ser feito os estudos de sinais de x-1 e x+6
Para x ≤ -6 temos x -1 ≤ 0 e x +6 ≤ 0 então -x +1 -x – 6 = 13 ⇔ x = -9. Como x=-9 satisfaz a condição x ≤ -6, é solução Para -6 ≤ x ≤ 1 temos x + 6 ≥ 0 e x -1<0 então -x +1+ x + 6 = 13 ⇔ 7=13 (absurdo). Logo, não há solução no intervalo [-6,1]. Para x ≥ 1 temos x + 6 ≥ 0 e x -1 ≥ 0 então x – 1+ x + 6= 13 ⇔ x=4. Como x=4 satisfaz a condição x≥1, é solução.
S={-9,4}
INEQUAÇÕES MODULARES
Para a solução de inequações modulares é necessária a utilização das seguintes propriedades dos módulos, onde a≥0.
|x| < a ⇔ – a < x < a
|x| > a ⇔ x < – a ou x > a
Note ainda que se a<0, então |x|≥a,∀x∈|x|<a é sempre falso.
Exemplos:
1) Resolva a inequação |x+3|≤5.
|x + 3| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x + 3 ≤ 5 ⇔ -8 ≤ x ≤2
S=[-8,2]
2) Resolva a inequação |4 x-3|>5.
|4x – 3| > 5 ⇔ 4x – 3 < -5 ou 4x – 3 > 5 ⇔ x < -1/2 ou x > 2
S={x ∈ R ∣ x <-1/2 ou x > 2}
3) Resolver em R a inequação 2x-7+|x+1|≥0.
Se x≥ – 1, |x + 1| = x + 1 então
2x – 7 + x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
A solução S1 é obtida da interseção entre x≥-1 ex≥2, logo S1=[2,+∞)
Se x < -1,|x + 1| = -x – 1 então
2x – 7 – x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 8
A solução S2 é obtida da interseção entre x <- 1 e x ≥ 8, logo S2 = ∅.
A solução da inequação é S=S1∪S2 = [2, + ∞)
Assim como para as equações, as inequações modulares que apresentam soma ou subtração de módulos normalmente necessitam que seja feito um estudo de sinal para a sua solução.
Exemplo:
Resolva a inequação |3 x-12|+|5-x|<12.
Para x ≤ 4, temos |3x – 12| =-3x + 12 e |5-x| = 5 – x, então -3x + 12 + 5 – x < 12 ⇔ x > 5/4
S1=5/4,4
Para 4 ≤ x ≤ 5, temos |3 x – 12|=3 x-12 e |5 – x| = 5 – x, então 3x – 12 + 5 – x < 12 ⇔ x < 19/2
S2=[4,5]
Para x ≥ 5, |3x – 12|= 3x – 12 e |5 – x| = -5 + x, então 3x – 12 – 5 + x < 12 ⇔ x < 29/4
S3 = [5, 29/4]
S= S1 ∪ S2 ∪ S3 = [5/4, 29/4]
