EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
1° tipo: se a > 0; a ≠ 0 e α ∈ ℝ
logax = b → x = ab
Exemplo:
log2(3x+1)=4
Usando a definição de logaritmo
24=3x+1
3x 1=16
3x=15⇒x=5
2° tipo: logax=logaN⇒x=N
Exemplo:
log2(3x-5)=log27
Igualando os logaritmandos
3x-5=7→3x=12→x=4
3° tipo: incógnita auxiliar
Exemplo:
Temos que ter atenção a um detalhe muito importante, a condição de existência do logarítmo, lembra?
Toda vez que temos um logarítmo isso deve ser primordial.
No exemplo log2(3x-5)=log27 temos que ter a preocupação de 3 x-5>0 porém como na nossa resolução já iremos ter que igualar 3x-5=7 e 7>0 não será um problema se não fizermos antes a condição 3 x-5>0 que diz pra gente que essa equação logarítmica só admite soluções tai que x>5/3.
Já no exemplo (log2x)2 – log2x =2 ao fazemos a condição de existência x>0 antecipadamente é muito bom pois previne que no final encontremos soluções que não satisfazem a condição de existência do logaritmo.
Vamos ver mais um exemplo e ver como isso fica bem claro.
log2(x+1)+log2(x-1)=3
Antes de mais nada temos que satisfazer os dois logs e assim
Primeiramente vemos que temos a soma de 2 logs de mesma base e devemos lembrar que logcab=logca+logcb e assim podemos também voltar a soma dos logs em um único log.
log2(x+1) + log2(x-1) =log2(x+1)(x-1)
log2(x+1)(x-1)=3
(x+1)(x-1) = 23 ⇒ x2 -1= 8 ⇒ x2 =9 ⇒ x=±3
Porém como fizemos de antemão a condição de existência conjunta para ambos os logaritmos sabemos que só podemos ter soluções tais que x>1 e assim -3 não pode ser uma solução.
Sendo assim S={3}.
Quer ver o que aconteceria se x=-3 ?
log2(-3+1) + log2(-3-1) = log2(-2) + log2(-4)
Que não é definido.
Já imaginou ficar tendo que testar todas as soluções que encontrar uma a uma? Por isso é sempre melhor determinarmos a condição de existência previamente.
ProBizu
A utilização dos logaritmos em equações muitas vezes se dá a partir de uma equação exponencial que não é possível igualar as bases. Geralmente essas questões trazem dados de aproximação para utilizarmos aliadas as propriedades aqui explicitadas, por exemplo.
Imagine que a partir de um problema chegaremos na seguinte equação exponencial.
5x=360
Logicamente 5 e 360 não poderão ser colocados na mesma base, nesse tipo de questão, geralmente a questão nos traz informações. Digamos que ela nos fornece os seguintes dados, use log 2=0,3 e log 3=0,48
A primeira coisa que temos que ter em mente é que podemos aplicar logaritmo nos dois lados de uma equação, desde que na mesma base.
Teremos que saber em que base devemos aplicar esses logaritmos.
O ideal seria aplicar a base 5, pois aplicando como base do log a mesma base da potência que temos a incógnita temos nossa intenção se dando de forma mais direta.
log5(5x) = log5(360) ⇒ x · log5(5) = log5 (360) ⇒ x = log5(360)
Porém a suposta questão só nos forneceu dados de logaritmos na base 10, podemos até seguir por esse caminho, mas teríamos que passar todas as informações fornecidas pela questão da base 10 para a base 5.
Sendo assim, a maior parte das vezes aplicamos como base do log a mesma base dos dados que nos foram fornecidos no problema, sendo assim aplicaremos os logs na base 10 .
5x=360 ⇒ log(5x) = log(360) ⇒ x · log(5) = log(360)
Vamos ao que interessa!
x . log(10/2) = log(9 . 4 . 10) ⇒ x . (log10 – log2) = log 9 + log 4 + log 10 ⇒
x . (log10 – log2) = log 3² + log 2² + log 10 = 2 . log 3 + 2 . log 2 + log 10 ⇒
Vamos agora substituir os valores que nos foram fornecidos, log2=0,3, log3=0,48 e não esqueçamos que log10=1.
x ·(1-0,3 )= 2 · 0,48 + 2 · 0,3 + 1 ⇒ 0,7x =0,96 + 0,6 + 1
