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Função Logarítmica: Definição e propriedades

A função logarítmica é um conceito matemático intrínseco às relações entre potências. Definida como f(x) = log_a(x), onde “a” é a base positiva, ela inverte a operação exponencial. Suas propriedades incluem simplificação de produtos e potências em somas, bem como aplicações em escalas de medida, resolução de equações complexas e estudos de crescimento de fenômenos não-lineares.

DEFINIÇÃO

Em uma base a, onde a>0 e a≠1, o logaritmo de N é αα. O logaritmo de um número é definido como o expoente que é elevado para que potência obtida seja igual a N. Veja, como podemos simbolizar:

logaN= α ⇔ aα=N

Logaritmo é um número real localizado na base que é elevado para obter o logaritmando ou o antilogaritmo (N = antiloga α =aα) , que nesse caso é representado por N, onde “a” é a base e α é o logaritmo.

O logaritmo α existe se:

N>0

a>0

a≠1

O cologaritmo de N na base a é o oposto do logaritmo de N na base a.

cologaN =-logaN

Antilogaritmo de N na base α é definido por

antilogαN= x ⇔ αN=x

Exemplos:

a) log216=4,pois 24=16
b) log525=2, pois 52=25
c) log1/381=-4,pois (1/3)-4=81
d) log41=0, pois 40=1
e) antilog 2=72=49
f) antilog 6=26=64
g) colog24=-log24=-2
h) colog327=-log327=-3

CONSEQUÊNCIA DA DEFINIÇÃO

a) loga1=0, pois a0=1
b) logaa=1, pois a1=a
c) loga(a)α= α, pois aα=aα
d) alogaN=N pois logaN = k, então ak=N e daí alogaN=ak=N

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Para: M>0,N>0,a>0 e a≠1.

a) Definimos o logaritmo de um produto através da soma dos logaritmos dos fatores.

Simbolicamente: 

b) Definimos o logaritmo de um quociente através da diferença entre o logaritmo do numerador e do denominador.

c) Definimos o logaritmo de uma potência através do expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência.

d) Para definirmos o logaritmo de uma raiz basta saber o inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo do radicando.

e) Quando a base de um logaritmo estiver elevada a um expoente faremos:

MUDANÇA DE BASE

Para definirmos o logaritmo de um número N(N>0), numa base a a(a>0 e a≠1) basta saber o quociente entre o logaritmo de N e o logaritmo de a, com os dois na base b, onde com b>0 e b≠1.

Para trocar as bases, devemos seguir a regra abaixo:

Sejam a,b,c ∈ ℝ+*  e a,c ≠ 1, temos: logab =logc b/logc a

Exemplo

Consequências:

a) logab=1/logb a
b) logca · logab = logcb
c) logab ·logbc · logcd·…·logyz=logaz

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