A potência de expoente n, n natural e n>1, do número a, representa-se por an, é o produto de n fatores iguais a “a”.
Representa-se por am × an =am+n onde a é denominado base e n é denominado expoente.
Quando n=2, lê-se a² como “a ao quadrado” e quando n=3, a³ lê-se como “a ao cubo”.
Exemplos:
Estende-se a definição de potência pondo-se
(I) a¹=a, para todo a real e a0=1, para todo a real diferente de zero.
(II) Dado um número real, não nulo, e um número natural n define-se a potência a-n pela relação:
Exemplos:
Observação:
Das definições anteriores decorre que a base a das potências pode ser um número real positivo, negativo ou nulo e, com base nisto, podemos fazer as seguintes observações:
(1) toda potência de expoente par é positiva;
(2) toda potência de expoente ímpar tem sempre o sinal da base;
(3) toda potência de 0 com expoente positivo é igual a zero. Não se definem 0° nem 0n com n negativo;
(4) as potências de (-1) são iguais +1 ou (-1) conforme o expoente seja par ou ímpar respectivamente.
OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS
(I) Para multiplicar potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes. Assim,
am × an = am+n
(II) Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Assim,
(III) Para calcular uma potência de uma potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. Assim,
(am)n=am×n=(an)m
Não devemos confundir anp com (an)p pois a primeira é uma potência cujo expoente é uma potência enquanto que a segunda é uma potência de uma potência.
Definição
Potências semelhantes são aquelas que possuem o mesmo expoente.
(IV) Para multiplicar potências semelhantes conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases. Assim,
an×bn=(a×b)n
(V) Para dividir potências semelhantes conserva-se o expoente e dividem-se as bases. Assim,
RADICIAÇÃO
Definição: O número real b, é a raiz de índice n (raiz enésima), sendo n um número natural, do número real a se, e somente se n√a=b ⇔ bn=a onde, se n é par, devemos ter a≥0 e b≥0.
Quando n=2 escreve-se √a ao invés de ²√a para representar a raiz quadrada positiva de a.
Quando n=3, ³√a é chamada de raiz cúbica de a.
O número real a é chamado radicando e n√a é chamado radical de índice n.
Consequência da definição: decorre imediatamente da definição da raiz enésima de a que (n√a)n= a. Assim, (³√6)³=6.
Observação:
(I) Para todo natural n não nulo, n√0=0 e n√1=1.
(II) Para todo natural n e quaisquer reais não nulos a e b tem se que a = b ⇔ n√a = n√b e a < b ⇔ n√a < n√b. Em particular, a < 1 ⇔ a < n√a < 1 e a >1⇔1< n√a <a.
LEI DOS RADICAIS
Para todos os naturais não nulos n e p e todos os reais não nulos a e b valem as seguintes fórmulas.
(l) Para multiplicar raízes de mesmo índice conserva-se o índice e multiplicam-se os radicandos.
(II) Para dividir raízes de mesmo índice conserva-se o índice e dividem-se os radicandos.
(III) Para elevar uma raiz a um expoente eleva-se o radicando ao expoente e conserva-se o índice da raiz.
(IV) Para se extrair a raiz de uma raiz conserva-se o radicando e multiplicam-se os índices.
(V) Um radical não se altera quando multiplicamos o seu índice e o expoente do radical por um mesmo natural diferente de zero.
(I) Quando a > 0 e n é par, a notação n√a representa também a raiz n-ésima positiva de a (a negativa é representada por –n√a).
Em particular,
(II) Quando a<0 e n for ímpar as leis das raízes podem ser aplicadas para –n√|a| (ou –n√-a ) mas não para n√a. Assim, por exemplo para reduzirmos ³√-2 a um radical de índice 6 devemos fazer ³√-2= ³√-2= –6√2² =- 6√4 e não -³√2=6√(-2)² = 6√4.
POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Para dar significado às potências de expoentes fracionárias precisamos do uso de radicais. A razão para isto, é que precisamos definir a¹/n de modo que ela seja consistente com as leis dos expoentes isto é, devemos ter:
Portanto definiremos,
Observemos que se n é par é necessário que a≥0.
Finalmente, definiremos a potência para todo expoente racional irredutível m/n onde m e n são inteiros e n>0.
Se n√a existe como um número real (e este será o caso para todo número real a se n for ímpar e para a≥0 se n for par), definimos a m/n =(n√a)m ou equivalentemente a m/n= n√am.