EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE SENOS
sen α = sen β ⇔ α – β = 2kπ , k ∈ ℤ ∨ α + β = π + 2kπ, k ∈ ℤ
Observe que dois arcos que possuem o mesmo seno ou são côngruos (α – β = 2kπ, k ∈ ℤ) ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Oy.
No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por α = θ + 2k1π, k1 ∈ ℤ e β = (π – θ) + 2k2π, k2 ∈ ℤ, o que implica α + β = π + 2(k1 + k2)π = π + 2kπ, k ∈ ℤ.
Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:
Notação resumida: α = kπ + (-1)k · β, k ∈ ℤ
Exemplo:
EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE COSSENOS
cosα = cosβ ⇔ α ± β = 2kπ, k ∈ ℤ
Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos (α – β = 2kπ, k ∈ ℤ) ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Ox.
No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por α = θ + 2k1π, k1 ∈ ℤ e β = -θ + 2k2π, k2 ∈ ℤ, o que implica α + β = 2(k1 + k2)π = 2kπ, k ∈ ℤ.
A notação α ± β = 2kπ, k ∈ ℤ representa a união das soluções de ambos os casos.
Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:
Exemplo:
Exemplo:
O conjunto das soluções da equação sen 5x = cos3x contém o seguinte conjunto:
a) {π/16 + k π/5, k ∈ ℤ}
b) {π/16 + k π/3, k ∈ ℤ
c) {π/4 + k π/3, k ∈ ℤ}
d) {π/4 + k π/2, k ∈ ℤ}
e) {π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ}
Resolução: E
EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE TANGENTES
tg α = tg β ⇔ α – β =kπ, k ∈ ℤ
Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos (α – β = 2kπ, k ∈ ℤ) ou suas imagens são simétricas em relação à origem dos eixos ordenados.
No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por α=(π + θ) +2k1π, k1 ∈ ℤ e β = θ + 2k2π, k2 ∈ ℤ, 0 que implica α – β = π+2(k1 – k2)π = π+2kπ, k ∈ ℤ.
A notação α – β = kπ, k ∈ ℤ representa a união das soluções de ambos os casos.
Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:
tg α = tg β ⇔ tg α – tg β = 0 ⇔ sen(α-β)/cosα·cosβ =0 ⇔ sen (α – β) =0 ⇔
α – β = kπ, k ∈ ℤ
Exemplo:
tg (4x – π/4) = tg 2x ⇔ (4x – π/4) – 2x = kπ, k ∈ ℤ ⇔ x = π/8 + kπ/2, k ∈ ℤ
