I. Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplos:
II. Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
III. Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.
Exemplo:
IV. Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
Observação: definição de combinação linear: um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ⋯ ,vk se existem escalares a1, a2, … ,ak tal que:
v = a1, v1 +…+ akvk
V. Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
VI. O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
VII. Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
VIII. Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:
IX. Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
X. Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por (-1) n·(n-1)/2.
Exemplos:
XI. Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos: det (AB) = det A · det B
Observação: como A · A-1 = I, na propriedade acima, temos: det (A-1) = 1/detA.
A condição para que uma matriz possua inversa é que seu determinante seja não nulo, ou seja A-1 existe ⇔ det A ≠ 0.
Exemplo:
Exemplo:
