Determinante de uma matriz: Definição parte – 2

COFATOR

Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento a_ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A_ij, ta que A_ij = (- 1)^i+j · MC_ij .

Exemplos:

1. Dada matriz:

os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M são:

Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A̲) como sendo:

MATRIZ ADJUNTA 

A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada a̲d̲j̲u̲n̲t̲a̲ de A.

E assim para qualquer ordem. 

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de uma matriz quadrada M = [a_ij]_m×m(m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos det M = ∑^m_i=1 a_ijA_ij onde, ∑^m_i=1 é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, m ∈ N e A_ij é o cofator ij.

Exemplo: 

Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes:

Solução:

a) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

b) Como três dos quatro elementos da 2ª linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha.

OBS.: Então podemos rescrever D₂ como D₂ = -2D(I).

Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na 3ª linha (mais conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos

Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos D₂ = -2D ⇒ D₂ = -2(-35) ⇒ D₂ = 70.