Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.
Aplicações dos determinantes na matemática:
- Cálculo da matriz inversa;
- Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
- Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.
DETERMINANTE DE PRIMEIRA ORDEM
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a11], chamamos de determinante associado à matriz M o número real a11.
Notação: det M ou |a11| = a11
Exemplos:
1. M1 = [5] ⇒ det M1 = 5 ou |5|=5
2. M2 = [-3] ⇒ det M1 = -3 ou |-3| = -3
DETERMINANTE DE SEGUNDA ORDEM
Dada a matriz:
de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de 2ª ordem é dado por
= a11a22 – (a12a21). Assim: det M = a11a22 – (a12a21)
Exemplo:
Conclusão: o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
REGRA DE SARRUS (DETERMINANTE E TERCEIRA ORDEM)
Solução:
1º Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da 3ª.
2º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja,
= + (a11a22a33 +a12a23a31 + a13a21a32)
3º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja, -(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33). Assim,
D = -(a13a22a31 + a11a23a32 +a12a21a33) + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
OBS: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de 3ª ordem com o auxílio do teorema de Laplace, veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número real.
MENOR COMPLEMENTAR
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante MCij, de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por aij.
Exemplo:
1. Dada a matriz:
de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento a11(M11), retiramos a linha 1 e a coluna 1;
Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento a12 é dado por:
Exemplo:
2. Dada a matriz
de ordem 3, vamos determinar:
a) MC11
b) MC12
c) MC13
d) MC21
Solução:
OBS.: Vamos denotar “menor complementar” por MC
a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima
b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que
c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que
d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que
