Determinante de uma matriz: definição e propriedades

DETERMINANTES DE 1ª ORDEM

Seja A = (a₁₁) uma matriz 1×1 então A = |a₁₁| = a₁₁.

DETERMINANTE DE 2ª ORDEM

DETERMINANTE DE 3ª ORDEM – REGRA DE SARRUS

A Regra de Sarrus é um dispositivo mnemônico para calcular o determinante de 3ª ordem.

EOREMA DE LAPLACE

Este nos dá uma maneira geral de calcular o determinante, recursivamente, de qualquer matriz quadrada. Vejamos alguns conceitos preliminares.

MENOR COMPLEMENTAR

Seja uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e a_ij um elemento qualquer de A. O menor complementar M_ij do elemento a_ij é o determinante da matriz de ordem (n – 1), obtida a partir de A eliminando-se a linha i e a coluna j.

Vamos aplicar essa definição a uma matriz quadrada de ordem 3 e obter a expressão do menor complementar de alguns elementos.

COFATOR

Seja uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e a_ij um elemento qualquer de A. O cofator do elemento a_ij é o número definido por A_ij = (-1)^i+j · M_ij onde M_ij é o menor complementar de a_ij.

Calculando os cofatores a partir dos menores obtidos no exemplo anterior:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = M₁₁ A₁₂ = (-1)¹⁺²M₁₂ = -M₁₂

A₂₂ = (-1)²⁺²M₂₂ = M₂₂ A₂₃ = (-1)²⁺³M₂₃ = -M₂₃

Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A) como sendo:

Exemplo:

TEOREMA DE LAPLACE

Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2, o determinante de A é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.

Usando o teorema de Laplace na 3ª linha para o cálculo do determinante abaixo:

Exemplo: calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes

Resolução: 

Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

a) como três dos quatro elementos da 2ª linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha.

Obs.: então podemos reescrever D₂ como, D₂ = -2D (I)

b) Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na 3ª linha (mais conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos:

PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES

Propriedade 1: o determinante da matriz identidade vale 1.

Propriedade 2: para toda matriz quadrada A temos que det (A) = det (A^t);

Propriedade 3: seja B a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de duas filas (linhas ou colunas) paralelas. Desta forma, temos:

Propriedade 4: toda matriz que possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais tem determinante nulo; 

Propriedade 5: toda matriz que possui uma fila com todos os seus elementos nulos tem determinante nulo;

Propriedade 6: seja B uma matriz obtida a partir de uma matriz A de modo que a i-ésima fila de B é igual a i-ésima fila de A multiplicada por uma constante k, então temos det(B) = k ⋅ det(A);

Propriedade 7: seja A uma matriz de ordem n e k  um número real, então det(k · A) = kⁿ · det(A);

Seja det A = 3 e que A é quadrada de ordem 3. Dessa forma det(2A) = 2³ · det A = 8 · 3 = 24

Propriedade 8:

Propriedade 9: (Teorema de Jacobi) adicionando-se a uma fila uma co (-1)^n·(n-1)/2.mbinação linear de outras filas paralelas, o determinante não se altera;

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: 

Propriedade 10: para toda matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal. 

Propriedade 11: quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por (-1)^n·(n-1)/2.

REGRA DE CHIÓ

Este algoritmo serve, assim como o teorema de Laplace, para baixar a ordem do determinante. Importante saber é que só podemos aplicar a regra de Chió se existir algum elemento igual a 1. 

ALGORITMO

1. Seja um determinante de ordem n onde a_ij = 1, suprimem-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna; 

2. De cada elemento restante a_pq do determinante subtraímos a_pj · a_iq;

3. O novo determinante tem ordem n–1 e quando multiplicado por (–1)^i+j torna-se igual ao determinante original.

Exemplo:

MATRIZ DE VANDERMONDE

Chamamos de matriz de Vandermonde a uma matriz da forma,

O determinante de matrizes de Vandermonde é dado pelo produto de todas as possíveis diferenças a_i -a_j onde i > j.

TEOREMA DE BINET

Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então vale a igualdade

det(AB) = det(A) · det(B)

MATRIZ INVERSA

Dizemos que uma matriz A quadrada de ordem n é inversível se existe uma matriz B também de ordem n tal que AB = BA =I. Neste caso, dizemos que B é a matriz inversa de A e denotamos B = A^-1.

PROPRIEDADES

Todas as matrizes aqui citadas serão quadradas de ordem n e inversíveis.

I. Se AB = I, necessariamente B = A^-1 e então podemos garantir que BA = I.

II. (A – 1)^-1 = A

III. (A^t)^-1 = (A^-1)^t

IV. (A₁A₂… A_k)^-1 = (A_k)^-1… (A₂)^-1(A₁)^-1

V. (Ak)-1 = (A^-1)^k

VI. det (A^-1) =¹/_detA e assim A é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo.

CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA

Veremos agora o método do cálculo da matriz inversa através da matriz chamada adjunta. No próximo módulo, de sistemas lineares, veremos como calcular a matriz inversa resolvendo sistemas lineares.

Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como adj(A) = (cofA)^t, ou seja, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Assim, temos o seguinte resultado:

Este método é útil quando queremos encontrar um elemento específico da matriz inversa ou quando queremos inverter uma matriz de ordem baixa (2 ou 3 em geral).