Contagem: Binômio de Newton

OEFICIENTES BINOMIAIS 

DEFINIÇÃO

Dados os naturais n e k, sendo n ≥ k chama-se coeficiente binomial n sobre k e se indica (ⁿ_k) ao número definido por: (ⁿ₀) =1 e (ⁿ_k) = ^n!/_k!(n-k)! se 1 ≤ k ≤ n.

Da definição que para 1 ≤ k ≤ n tem-se: (ⁿ_k) =^n!/_k!(n-k)! =^{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}/_{k(k-1)(k-2)…1} onde o numerador da fração contém k fatoriais.

Exemplo: calcule n, sabendo-se que ^(n+1)!/_n! = 7.

Solução: 

Temos que: (n+1)! = (n+1) · n · (n-1) ·…· 3 · 2 · 1 = (n+1) · n!. Logo, ^n!(n+1)/_n! = 7 ⇒ n + 1 = 7 ⇒ n = 6.

TRIÂNGULO DE PASCAL

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm muitas relações entre si. Algumas dessas relações foram descobertas por Pascal.

Onde C^k_n representa combinação de n escolhe k, n é o número da linha e k representa o número da coluna.

Os quadros abaixo representam o triângulo de Pascal:

RELAÇÃO DE STIFEL

Trata-se de uma propriedade que permite construir o Triângulo de Pascal dada pela seguinte fórmula: C^p_n +  C^p+1_n + 1 = C^p+1_n+1.

Somando 2 elementos consecutivos de uma mesma linha obtemos o elemento localizado abaixo da segunda parcela.

Prova: considere o número de comissões de p+1 pessoas que podemos formar a partir de um grupo de n+1 pessoas, sabendo que uma destas n+1 pessoas é Pedro.

O total dessas comissões é igual a C^p+1_n+1, por outro lado podemos contar este total separando em dois casos; primeiro caso comissões que Pedro participa que são C^p_n  e o segundo caso, as comissões na qual Pedro não participa que são C^p-1_n .

TEOREMA DAS LINHAS

A soma dos termos da linha n é igual a 2 n.

C⁰_n + C¹_n + C²_n +…+ Cⁿ_n-1+Cⁿ_n = 2ⁿ

Prova: Seja o conjunto A={1,2,3,…,n} o total de subconjuntos é igual a C⁰_n + C¹_n + C²_n +…+ Cⁿ_n-1+Cⁿ_n , por outro lado para formar um subconjunto de A cada elemento de A tem duas opções, participar ou não do subconjunto.

Concluímos que o total de subconjuntos é igual a 2 n.

TEOREMA DAS COLUNAS 

A soma dos elementos de uma coluna do triângulo, começando no primeiro termo da coluna, é igual ao elemento que está na linha e na coluna posteriores ao último elemento da soma.

C^p_p + C^p_p+1 + C^p_p+2 +…+ C^p_p+n = C^p+1_p+n+1

Prova: considere o conjunto A={1,2,…,p,…,n+p,n+p+1} com p < n, o total de subconjuntos de p+1 elementos de A é igual a C^p+1_n+p+1

Por outro lado cada um destes subconjuntos tem um elemento que é o máximo (maior elemento do conjunto).

• Primeiro caso: p + 1 é o máximo, os outros p elementos são escolhidos à partir de {1,2,…,p}. Total de subconjuntos = C^p_p.
• Segundo caso: p+2 é o máximo; agora devemos escolher os outros p elementos de p+1 elementos {1,2,…,p+1}. Total de subconjuntos =C^p_p+1.

Caso N : n+p+1 é o máximo; Agora devemos escolher os outros p elementos à partir do conjunto {1,2,3,…,n+p}.

Total de subconjuntos =C^p_n+p.

Igualando as duas formas, o teorema está provado.

OUTRAS PROPRIEDADES 

C⁰_n + C¹_n+1 + C²_n+2 +…+ C^p_n+p + C^p+1_n+p+1; teorema das diagonais.

C^p_n = C^n-p_n relação das combinações complementares.

C^p_n < C^p+1_n se p < ^n-1/₂

BINÔMIO DE NEWTON

Consideremos a igualdade: (x+a)ⁿ = (x+a)(x+a)…(x+a) (n fatores) (1).

Para se formar um termo do produto (x+a)(x+a)…(x+a) devemos escolher uma das duas parcelas em cada um dos n fatores x+a a e efetuar o produto das mesmas.

Por exemplo, se escolhermos p letras a em p dos n binômios, e n-p letras x dos n-p binômios restantes, então um termo genérico do desenvolvimento de (x+a)ⁿ é da forma:

O número de termo da forma (2) é, então é igual ao número de modos de escolhermos p letras a em p dos n binômios x + a, isto é, C^p_n.

Portanto, reduzindo todos os termos da forma a^px^n-p, encontramos um único termo, C^p_na^px^n-p.

Finalmente, fazendo em p variar de 0 até n, encontramos todos os termos do desenvolvimento de (x + a)ⁿ.

Expandindo o somatório acima, temos:

TERMO GERAL DO DESENVOLVIMENTO DE (X + A)^N

Todos os termos do desenvolvimento de (x + a)ⁿ são obtidos de C^p_na^px^n-p quando fazemos neste termo, p variar de 0 a n.

Por este motivo, C^p_na^px^n-p é chamado de termo geral.

Chamando o 1º, 2º, 3º, …., termos do desenvolvimento de (x + a)ⁿ respectivamente por T¹,T²,T³,…, podemos observar que:

Para p =0 obtemos T¹ = C⁰_na⁰xⁿ

Para p=1 obtemos T² = C¹_na¹x^n-1

Para p=2 obtemos T³ = C²_na²x^n-2

Para p=3 obtemos T⁴ = C³_na³x^n-3

…

Isto é, a ordem de cada termo é igual à taxa da combinação correspondente mais 1. Como a taxa da combinação do termo geral é p, segue-se que este termo é de ordem p+1. Isto é, T_p+1 = C^p_na^px^n-p.