ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
Área de uma gura plana é a porção do plano ocupado pela figura.
Duas guras planas são equivalentes quando possuem a mesma área, embora possam ter formas inteiramente diferentes.
RETÂNGULO
QUADRADO
PARALELOGRAMO
TRIÂNGULO
Observação
A área de um triângulo permanece constante quando um dos seus vértices se desloca paralelamente ao lado oposto.
LOSANGO
TRAPÉZIO
Observação
A área do trapézio permanece constante quando deslocamos qualquer das bases sobre seus suportes.
POLÍGONOS REGULARES
CÍRCULO
SETOR CIRCULAR
É a porção do círculo compreendida entre dois raios.
A área de um setor circular é então equivalente à área de um triângulo cuja base é igual ao comprimento do arco do setor e cuja altura é igual ao raio do círculo.
COROA CIRCULAR
A área da coroa circular é então equivalente à área de um trapézio cujas bases são iguais aos comprimentos das duas circunferências e cuja altura é igual à distância entre os círculos.
A área de um setor de coroa circular é então equivalente à área de um trapézio cujas bases são iguais aos comprimentos dos arcos do setor da coroa circular e cuja altura é igual à distância entre os círculos da coroa circular.
TRIÂNGULO
As fórmulas já obtidas para o triângulo podem ser relacionadas das seguinte formas:
Vamos demonstrar os formatos acima e outros muito interessantes. A área de um triângulo é igual à metade do produto de dois lados adjacentes multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.
A área de um triângulo é igual ao produto de seu semiperímetro pelo raio do círculo inscrito nesse triângulo.
A área de um triângulo é igual ao produto da diferença entre o semiperímetro e um dos seus lados pelo raio do círculo ex-inscrito relativo a esse lado.
A área de um triângulo é igual aos produtos dos três lados dividido pelo quádruplo do raio do círculo circunscrito a esse triângulo.
A área de um triângulo é igual ao dobro do quadrado do raio do círculo circunscrito multiplicado pelo produto dos senos de seus ângulos.
A área de um triângulo é igual à raiz quadrada do produto do raio do círculo inscrito e dos três raios dos círculos ex-inscritos ao triângulo.
A área de um triângulo é igual à raiz quadrada da metade do produto do raio do círculo circunscrito por cada uma das três alturas do triângulo.
Note que essa propriedade vale para quaisquer figuras semelhantes, não só para triângulos. Se dois triângulos possuem bases sobre a mesma reta e vértice comum, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases.
Uma consequência imediata da proposição anterior é que a razão entre as áreas em que uma ceviana divide um triângulo é igual à razão entre as medidas dos segmentos em que essa ceviana divide o lado.
Se dois triângulos possuem base comum e o vértice de um deles pertence a uma ceviana do outro partindo do vértice oposto à base comum, então a razão entre a área do maior e do menor deles é igual à razão entre a medida da ceviana e a medida da parte entre o vértice do menor e a base comum.
Uma mediana divide o triângulo em duas regiões equivalentes.
As três medianas de um triângulo dividem esse triângulo em seis triângulos equivalentes.
TEOREMA
A razão entre as áreas de duas guras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança das figuras.
