ESTÁTICA

ESTÁTICA

A estática é o estudo de corpos em equilíbrio. Para analisarmos esses casos, temos que saber quais são as condições para dizermos que um corpo está em equilíbrio.

Até agora, vimos que, quando a soma das forças que atuam em um corpo é nula, este está em equilíbrio. Porém, vamos pensar em uma balança de pratos. Ao colocarmos um objeto em um dos pratos, este irá descer e aquele irá subir. Então, por mais que a balança não sofra aceleração (seu centro de massa* não se desloca), durante esse movimento dos pratos, não há equilíbrio. Supondo que o objeto foi colocado no lado direito da balança, a força peso do objeto faz com que o seu lado da balança gire no sentido horário, tirando a balança da situação de estática inicial.

A grandeza física que está intimamente ligada ao “giro” de corpos extensos, em relação a um eixo fixo, é chamada de torque (τ).

No caso da balança, quanto maior for o peso do objeto, maior será a sua aceleração angular (o “giro”).

Podemos pensar em uma gangorra de braços de mesmo tamanho. Se, do lado esquerdo, sentar uma pessoa de maior massa que do lado direito, com certeza a gangorra irá girar no sentido anti-horário. O que fazer para a gangorra permanecer em equilíbrio? Sabemos essa resposta, na prática, devido ao fato de a situação já ter acontecido com quase todas as pessoas. Basta o mais pesado se aproximar do eixo central da gangorra.

O torque depende, então, não só da força atuante, mas da sua distância em relação ao eixo. Quanto mais afastado, maio será a aceleração angular promovida (irá girar com maior facilidade). Colocar um elefante no eixo da gangorra não irá alterar o seu equilíbrio. Esse é o princípio das alavancas.

Uma observação deve ser feita: o ângulo entre os vetores força e distância é muito importante. Quando os vetores forem perpendiculares, o torque será máximo, como nos casos citados acima. Se os vetores forem paralelos, não haverá torque. Perceba que, uma vez estabelecido o equilíbrio na situação da gangorra descrita acima, se alguém realizar uma força perpendicular ao peso, não irá fazê-la girar.

Note que, como temos um produto vetorial, o torque é uma grandeza vetorial. Perceba a diferença: ao abrirmos uma garrafa de água, temos que girar a tampa no sentido anti-horário, gerando um momento angular vertical (para saber mais, leia o aprofundamento) para cima, fazendo que a tampa suba. Para fecharmos, temos que girá-la no sentido horário, produzindo um momento angular para baixo. Qualquer porca ou parafuso funcionam com o mesmo princípio. Outra aplicação interessante no cotidiano é o ventilador de teto. Quando gira no sentido horário, produz vento para baixo, e quando gira no sentido anti-horário, produz vento para cima.

Observação

O Torque também é chamado de momento da força. A origem desse termo é obscura, mas pode estar relacionada com o fato de que “momento” vem do latim movimentum e que a capacidade da força em mover um objeto (usando a força em uma alavanca) aumenta com o tamanho do braço.

Exercício Resolvido

Um garoto de 40 kg caminha sobre uma prancha homogênea e uniforme de 3,0 m de comprimento e massa de 60 kg. A tábua é colocada sobre dois apoios, A e B, separados por uma distância de 2,0 m. Qual é a menor distância x, da extremidade livre, em cm, a que o garoto pode chegar sem que a prancha tombe?.

Percebemos que o peso da prancha é a força que tenta manter o equilíbrio (iminência de rotação no sentido anti-horário) e o peso do garoto é a força que tenta fazer o sistema girar (iminência de rotação no sentido horário). Se o torque causado pelo peso do garoto for, em módulo, igual ao do peso da prancha, o sistema estará em equilíbrio. Notamos também que, na iminência de girar, a tábua tende a perder o contato com o ponto A, ou seja:

Resolução:

Em que d é a distância do peso da prancha até o ponto de apoio e d’ é a distância entre o ponto de apoio e o peso do garoto. O livro não tem dimensão considerável, então d é a distância do livro até o apoio, mas qual é o valor de d? Onde devemos colocar o peso em objetos extensos?

• Insere-se o conceito de centro de massa (C.M.), que veremos com maior profundidade a seguir. Por hora, podemos pensar que, para corpos homogêneos, se colocarmos um apoio no seu centro geométrico, o corpo permanecerá em equilíbrio. Esse será o C.M. do corpo. Ali colocaremos a força peso.

Então, no nosso exemplo, o peso da prancha está bem na metade do seu comprimento, que está a 1,5 m da extremidade A, a 0,5 do apoio (B),

Logo:

Máquinas que auxiliam o nosso cotidiano:

As principais máquinas que estão em vários livros didáticos de Física são as alavancas e as roldanas. Vamos estudar cada uma dessas máquinas. Além das citadas, o plano inclinado também
facilita bastante o dia a dia de muitas pessoas. Apesar de não ser uma máquina, vale a pena estudá-lo.

Exercício Resolvido

02. Uma escada de comprimento L está apoiada na parede, fazendo um ângulo α em relação ao chão. Considerando que a parede é lisa, qual é o coeficiente de atrito estático entre o chão e a escada, de modo que α é o ângulo máximo que a escada consegue permanecer em equilíbrio?

Resolução:

Nesse caso, como a escada é um corpo extenso, para garantirmos o seu equilíbrio, não basta considerarmos que o somatório das forças é zero. Temos que levar em conta que o somatório dos torques também é nulo. Vamos às sentenças que garantem que a escada irá permanecer em repouso:

Essas duas equações garantem que a soma das forças será zero. Mas, como se trata de um corpo extenso, temos que garantir que ela não gire em relação a um ponto de apoio. Vamos escolher o ponto que a escada toca no chão como o apoio. Vamos considerar que a escada é homogênea e tem comprimento L. Sendo assim, seu centro de massa fica na metade de seu comprimento. Fazendo isso, temos que:

Na figura abaixo, podemos ver os ângulos entre os vetores força e distância mais detalhadamente:

Decompondo a força de reação do solo, teremos:

MÁQUINAS QUE AUXILIAM O NOSSO COTIDIANO

As principais máquinas que estão em vários livros didáticos de física são as alavancas e as roldanas. Vamos estudar cada uma dessas máquinas. Além das citadas, o plano inclinado também facilita bastante o dia a dia de muitas pessoas. Apesar de não ser uma máquina, vale a pena estudá-lo.

ALAVANCAS

Imagine uma situação-problema de milhares de anos atrás: como remover uma pedra com mais de 100 kg? Arquimedes conseguiu responder essa pergunta há mais de 2 mil anos: podemos utilizar uma barra rígida e longa, que possa girar, apoiada em um ponto. Ao colocarmos a pedra em uma de suas extremidades, conseguiremos movê-la, aplicando uma força na extremidade oposta. Esse é o princípio das alavancas.
Nesse caso, podemos dizer que a força peso da pedra é uma força resistente, pois realiza um torque no sentido oposto ao da força aplicada para tentar removê-la, chamada de força potente.

TIPOS DE ALAVANCAS

Algumas alavancas do corpo humano:

Exercício Resolvido

03. O C.M. de uma pedra está a 20 cm de uma pedrinha, usada como apoio para uma alavanca interfixa, conforme figura abaixo. Qual é a força que o menino deve fazer para conseguir mover a alavanca, sabendo-se que a massa da pedra vale 80 kg e que esta força está sendo aplicada a 1,0 m do apoio?

Resolução:

A força que o menino faz é a força potente. Já a força peso da pedra é a resistente. Podemos dizer que o peso da pedra faz a alavanca girar para o sentido anti-horário, e a força do menino, para o sentido oposto. Então:

Perceba que o menino faz uma força equivalente a 1/5 do peso da pedra, ficando bem mais fácil para movê-la.

ROLDANAS

Podemos levantar objetos pesados sem o uso de muita força. Imagine uma situação na qual queremos levantar 200 kg. Como fazer isso? As roldanas podem ser a solução.
Observe a figura acima. Digamos que a força resistente (R) esteja valendo 2000 N. Note que, na figura, existem 3 roldanas, porém apenas uma está fixa no teto. Vamos chamá-la de roldana fixa. As outras duas podem se mover para cima ou para baixo. São as roldanas móveis.
Vamos isolar a roldana inferior:

As forças que atuam na roldana (vamos considerar que a roldana não tem massa) estão representadas na figura acima. A força resistente, que é o peso do objeto a ser levantado (vamos representá-la usando a letra P, de peso), e as duas trações. Como ela está em equilíbrio:

Agora, vamos separar a outra roldana móvel:

Essa roldana sofre a atuação de duas forças trações, que tendem a trazê-la para cima, e a atuação da tração do o de baixo, que chamamos anteriormente de T, atuando no sentido oposto.

Já na roldana fixa, o o apenas dá a volta por ela. Nada de interessante, do ponto de vista mecânico, acontece ali. Repare que a força necessária para fazer o objeto subir, com o sistema da figura, é 1⁄4 da sua força peso. Isso acontece porque cada roldana móvel reduz a força F necessária para levantar um objeto pela metade.

No nosso exemplo, para P = 2000 N, T` = 500 N.
Para n roldanas móveis:

PLANO INCLINADO

As rampas ou os planos inclinados facilitam muito o transporte de carga e a vida de muitos de cientes físicos. Quanto menor o ângulo de inclinação da rampa, mais fácil será para conseguir chegar ao
ponto mais alto. Mais fácil significa que é necessária uma força menor para fazer com que um objeto percorra esse desnível. Veja:

Para um sistema sem atrito, devemos aplicar uma força F para que um objeto de massa m suba um plano de inclinação x, conforme vimos em módulos anteriores. Podemos perceber que, quanto menor o ângulo de inclinação, menor o valor de F. Para situações com atrito, a força é um pouco maior:

O mesmo conceito aplica-se em parafusos, brocas e serras.

CENTRO DE MASSA E CENTRO DE GRAVIDADE

Se tivéssemos que localizar um corpo no espaço tridimensional, ele seria representado por um ponto, e este ponto é o centro de massa. De outra forma, pode-se dizer que se tivesse que concentrar toda a massa de um corpo em um único ponto, este ponto seria o centro de massa.

Centro de gravidade é um termo uado para denominar o ponto onde um corpo se equilibra levando-se em conta a aceleração da gravidade local. Sabe-se que o campo gravitacional da Terra não é uniforme (quanto mais afastado da superfície, menor o seu módulo, ou seja, um corpo pesa menos em grandes altitudes do que ao nível do mar). Assim, em um corpo suficientemente longo que tenha suas extremidades localizadas em campos gravitacionais diferentes, o centro de gravidade estará mais próximo da região onde a aceleração da gravidade é maior:

Então, o centro de massa é uma característica intrínseca do corpo e independe de fatores externos, já o centro de gravidade é influenciado pelo campo gravitacional. Se o campo gravitacional for uniforme, o centro de massa coincide com o centro de gravidade.

Como o corpo deveria ter centenas de quilômetros para se enquadrar no caso acima, podemos tratar centro de massa e centro de gravidade como sinônimos.
Cada corpo tem o seu centro de massa, mas um conjunto de corpos distribuídos discretamente no espaço também tem um centro de massa bem definido. Neste caso, o centro de massa depende da localização de cada corpo:

Cálculo de C.M. para um conjunto de corpos distribuídos discretamente:

Exercício Resolvido

Observe a figura a seguir:

Na figura acima, temos um disco de raio R = 0,1 m e espessura R/3 com um buraco circular de raio R/4. A distância entre o centro do disco e o centro do buraco é R/2. A massa específica do material do disco é μ = 9,6.10³ Kg/m³. Qual é o módulo, em newtons, da força que, aplicada ao ponto A, garante o equilíbrio estático do disco na configuração representada acima? Considere g = 10 m/s² e π = 3.

Resolução:

Primeiramente, vamos usar como referência o C.M. do disco inteiro como (R,R).

A partir de referencial acima, temos que o centro de massa do disco removido é (R/2,R).

TIPOS DE EQUILÍBRIO

Observação

TEOREMA DAS TRÊS FORÇAS

Um corpo está em equilíbrio sob ação exclusiva de três forças. Estas deverão ser coplanares e suas linhas de forças de ação serão, necessariamente, concorrentes (a) em um único ponto ou paralelas (b).

Exemplo

APROFUNDAMENTO

MOMENTO ANGULAR (L)

Não confundir momento da força ou torque com momento angular (L). Esta é outra grandeza física vetorial. O torque mede a variação de momento angular (dL) por unidade de tempo (dt). Quando um corpo extenso sofre um torque resultante, sofrerá uma aceleração angular, em relação ao seu eixo de rotação:

Grandeza vetorial conhecida como momento linear ou quantidade de movimento (p). A estudaremos com mais detalhes mais para frente.
Sendo assim:

Quando o corpo está em equilíbrio, ou seja, quando o torque resultante for zero, não haverá variação do momentum angular, ou seja, o momento angular permanece constante. O momento angular está para o momento linear assim como o torque está para a força.

Observação

No movimento sob a ação de forças centrais, o momento angular se conserva, de modo que a velocidade areolar é constante: o raio vetor que liga a partícula ao centro de forças descreve áreas iguais em tempos iguais. Essa conclusão é conhecida como 2^a Lei de Kepler, que nada mais é do que a lei de conservação do momento angular. Um exemplo é o movimento de translação da Terra ao redor do Sol:

Quando o planeta está no afélio (ponto mais afastado) e no periélio (ponto mais próximo), o vetor velocidade é perpendicular ao raio vetor. Conservando o momento angular:

A velocidade será máxima no periélio e mínima no afélio.

MOMENTO DE INÉRCIA (I)

Sabemos que, se uma força F for aplicada em um corpo extenso de massa m, a uma distância r do seu eixo de rotação, a componente perpendicular dessa força pode fazê-lo girar com uma aceleração angular α. Essa aceleração vai depender de qual corpo estamos rotacionando. Do seu formato, de onde está sendo aplicada a força e da sua massa. A “dificuldade” de fazer um objeto rotacionar (ou de mudar a sua rotação, parando-a, por exemplo) chama-se momento de inércia (I):

Vamos imaginar um cilindro circular de massa m e raio r em um plano inclinado cujo ângulo de inclinação em relação ao piso horizontal vale θ. A força de atrito entre o piso e o cilindro pode fazer com que ele comece a rolar ao longo do piso (se não houver atrito ele só desliza) sem deslizar. O torque do atrito é responsável pela aceleração angular do cilindro. Se fosse uma esfera maciça de raio r, a aceleração angular que ela teria seria diferente, por exemplo:

Observação

Se a resultante dos torques for nula, não teremos aceleração angular, ou seja, a velocidade angular do sistema será constante:

Essa é a física de uma patinadora de gelo, por exemplo. Ela encolhe os seus braços para girar mais rapidamente:

Diminuindo o momento de inércia (I), ao encolher os braços, a sua velocidade angular ω aumenta. O mesmo acontece com uma bailarina, para fazer várias piruetas, ou um mergulhador, que dá um salto múltiplo dobrando os joelhos e juntando os braços para girar o corpo e o gato, que gira a cauda e encolhe as patas, para cair de pé.