DIEDROS
Ângulo diedro ou diedro ou ângulo diédrico é a reunião de dois semiplanos α e β de mesma origem não contidos num mesmo plano e é denotado por αβ.
Na gura r ⊥ γ e o ângulo a^b é a seção reta do diedro. A medida de um diedro é a medida de sua seção reta (a
medida de um diedro é igual ao ângulo entre as faces). Diedro reto é aquele cuja seção normal é um ângulo reto.
TRIEDROS
Sejam três semirretas de mesma origem e não coplanares. Três planos podem ser formados, um a partir de cada par de retas. Cada plano determina um semiespaço que contém a terceira semirreta. Assim, o triedro V(a,b,c) ou V(A,B,C) formado pelas três semirretas é a interseção desses três semiespaços.
A origem comum V é chamada vértice do triedro e cada uma das semirretas a, b e c, aresta.
Um triângulo que possui um vértice em cada aresta do triedro é uma seção do triedro, como o triângulo ABC.
Triedro tri-retângulo: faces são ângulos retos e os diedros são diedros retos.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
1. A medida de cada face está compreendida entre 0° e 180°. 2. Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas.
3. A soma das medidas das faces de um triedro qualquer é menor que 360°.
ÂNGULOS POLIÉDRICOS CONVEXOS
O conceito de ângulos poliédricos convexos é uma extensão do conceito de triedros. Dado um número finito
n ≥ 3 de semirretas Va1 , Va2 , …, Van , de mesma origem V, tais que o plano de duas consecutivas deixa as demais num mesmo semiespaço, consideremos n semiespaços E1 , E2 , …, En , cada um deles com origem no plano de duas semirretas consecutivas e contendo as restantes.
Então o ângulo poliédrico convexo determinado por Va1 , Va2 , …, Van é a interseção dos semiespaços E1 , E2 , …, En .
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
1. A medida de cada face está compreendida entre 0° e 180°. 2. Em todo ângulo poliédrico convexo, qualquer face é menor que a soma das demais. 3. A soma das medidas das faces de um ângulo poliédrico convexo qualquer é menor que 360°.
POLIEDROS CONVEXOS E RELAÇÃO DE EULER
DEFINIÇÕES
Poliedro convexo é uma reunião de um número nito de polígonos planos convexos chamados faces onde:
1o) dois polígonos não estão no mesmo plano;
2o) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; e
3o) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos no mesmo semiespaço.
Os vértices das faces são também os vértices do poliedro e os lados das faces são chamadas arestas do poliedro.
Cada vértice do poliedro corresponde a um ângulo poliédrico, no qual está contido todo o poliedro.
Diagonal do poliedro é qualquer segmento com extremidades em dois vértices do poliedro e não contido em uma face.
POLIEDROS DE PLATÃO
Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se:
1o) todas as faces têm o mesmo número de arestas;
2) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas; e 3o) vale a relação de Euler (V − A + F = 2).
Existem exatamente cinco poliedros de Platão.
Seja n o mesmo número de arestas de cada face e m o número de arestas dos ângulos poliédricos, temos:
POLIEDROS REGULARES
Um poliedro convexo é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes e seus ângulos poliédricos são congruentes. Todo poliedro regular convexo é um poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular.
Os poliedros convexos regulares são cinco: o tetraedro regular, o hexaedro regular, o octaedro regular, o dodecaedro regular e o icosaedro regular.
